Практичне заняття №2 Тема: Властивості функцій диференційованих на відрізку.

Основні відомості: Теореми Роля, Лагранжа, Коші.

Задачі:

1. Довести, що якщо рівняння має додатній корінь , то рівняння також має додатній корінь і при тому менший .

2. Довести, що якщо диференційована разів на відрізку і обертається на ньому в нуль в точці, то існує таке , що .

1. Довести, що , при умові .

2. Довести, що якщо диференційована та необмежена на скінченому інтервалі , то її похідна також необмежена на цьому інтервалі.

1. Довести, що якщо диференційована на , то існує така точка , що .

2. Нехай диференційована на , . Довести, що в деякій точці .

Вказівка: розглянути функцію .

2. Функція неперервна на та диференційована на . Довести, що якщо , то в деякій .

Вказівка: розглянути .

Завдання для самостійної роботи.

1. Довести, що між двома дійсними коренями многочлена з дійсними коефіцієнтами є корінь його похідної.

2. Довести, що якщо всі корені многочленна з дійсними коефіцієнтами дійсні, то його послідовні похідні також мають лише дійсні корені.

3. Показати, що рівняння не може мати двох різних коренів в інтервалі .

4. Функція двічі неперервна диференційована на та має на не менш трьох різних нулів. Довести, що існує , що .

Вказівка: використовувати задачу 3.3.

5. Довести .

6. Довести .

7. Довести .

8. Довести, що .

9. Довести, що .

10. Довести .

11. Довести, що якщо диференційована разів при , а при , то і при .

12. Довести, що якщо та диференційовані разів при та , при , то і при .

13. Довести, що якщо має в скінченому або нескінченому інтервалі обмежену похідну , то рівномірно неперервна на .

14. Довести, що якщо диференційована при та , то .

15. Довести, що якщо диференційована на , то , де .

Вказівка: використовувати теорему Коші.

15. Довести, що якщо функція диференційована на , то існує така точка , що .

Вказівка: розглянути функцію .

15. Нехай неперервна диференційована на , та її похідна монотонна. Довести, що якщо , то .

15. Довести, що якщо задовольняє умовам теореми Роля на і не є константа, то на цьому відрізку існують такі точки та , що .

16. Довести, що якщо неперервна на і диференційована на та не є лінійна, то існує така точка , що .

17. Довести, що якщо при , то .

18. Довести, що єдина , яка має постійну похідну є функція .

19. Що можна сказати про , якщо ?

20. Довести, що єдина функція задовольняє рівнянням є - довільна константа.

Вказівка: розглянути .

15. Довести, що якщо , то , де .

16. В умовах задачі 24 довести, що .

Практичне заняття №3 Тема: Похідні та диференціали вищих порядків. Формула Тейлора.

Основні відомості:

1. Визначення похідної та диференціала n-го порядку.

2. Формула Тейлора.

3. Розклад в ряд Маклорена основних елементарних функцій.

Задачі:

1. 

За допомогою формули Лейбниця та основних формул:

1. 2.

3.

Розв’язати задачі:

2. 

3. 

4. Знайти , якщо , а - незалежна змінна.

5. Знайти , якщо , а - функція деякої незалежної змінної.

За допомогою формули Тейлора розв’язати задачі:

2.1. Нехай .

Довести, що .

Вказівка. Довести за допомогою індукції.

2.2. Нехай - двічі диференційована функція та Довести, що .

Вказівка: Розглянути

3. Розкласти в ряд Маклорена до .

Завдання для самостійної роботи.

Нехай - тричі диференційована функція. Знайти та якщо:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. - тричі диференційована функція.

6. 

7. 

Розклавши функцію на найпростіші дроби знайти

8. 

8. 

9. 

10. 

11. , де - многочлен.

12. 

13. Нехай диференційована та задовольняє умові , де має похідні всіх порядків. Довести, що має похідні всіх порядків.

Вважаючи незалежною змінною знайти :

8. 

9. 

10. 

11. 

Нехай - функція від :

8. знайти .

9. знайти .

10. Нехай та , при чому при . Довести, що при .

Вказівка.

8. Нехай - многочлен ступеня не вище . Довести, що

.

Розкласти за формулою Маклорена до :

8. 

9. 

10.