1. Дослідження внутрішніх екстремумів

Означення. Нехай , де Х – нормований простір, тоді точка називається локальним мінімумом (максимумом), якщо існує окіл точки , що .

Теорема. Нехай має у околі точки х похідні до порядку включно, а також похідну (порядку ) в самій точці х. Якщо і , то для того, щоб х була точкою екстремуму: необхідно, щоб було парним, а форма була додатною або від’ємною, ; достатньо, щоб на одиничній сфері була відділена від нуля, при цьому якщо

, то х – локальний мінімум;

, то х – локальний максимум.

Доведення. Для f виконується рівність .

Необхідність. Оскільки . Тоді для і близьких до нуля

при .

Для того, щоб в точці х був екстремум потрібно, щоб цей вираз не змінював знак при зміні знаку t. Це можливе для – парного.

Якщо х – екстремум, то знак різниці при достатньо малих співпадає зі знаком і значить в цьому випадку не може бути двох і , на яких форма набувала значень різних знаків.

Достатність. Нехай при . Тоді

, оскільки при , то при достатньо малих вираз у дужках більше нуля, тобто для будь-яких таких , тобто х – мінімум. Аналогічно для максимума.

Зауваження.

Більш спрощеною необхідною умовою екстремуму у точці є .

2. Необхідні і достатні умови екстремуму у випадку

Нехай функція .

Теорема. Нехай двічі диференційована в і . Якщо – додатньо визначена форма відносно , то – локальний мінімум, якщо від’ємно визначена , то – локальний максимум, а якщо знакозмінна, то – не є екстремумом.

Доведення. – неперервна функція на одиничній сфері (сфера в - компактна) і за теоремою Вєйерштрасса функція приймає максимальне і мінімальне значення в деякій точці, тобто .

Отже і з загальної теореми матимемо вказаний результат.

Нехай , тобто і в околі точки задовольняє умови теореми. Введемо позначення , , .

Теорема. Нехай тричі диференційована в околі і , тобто . Якщо , то в точці локальний екстремум, причому

1. якщо , то локальний максимум;

2. якщо , то локальний мінімум.

Якщо , то в точці екстремуму немає.

Доведення. Для будь-якого маємо

.

1. для додатньої визначеності квадратичної форми з матрицею достатньо (умова Сильвестра) ;

2. Для від’ємної визначеності - достатньо (умова Сильвестра) .

Доведемо другу частину теореми.

а) , , , маємо

, .

при вираз у перших дужках додатній.

При такому, що вираз від’ємний, тобто форма змінює знак.

б) , тобто ,

. Виберемо таким, що , тоді при вираз має різні знаки, тобто при форма змінює знак, отже в немає екстремуму.

Зауваження. Якщо , то потрібно досліджувати знак .

Практичне заняття №13 Тема: Дослідження екстремумів у випадку функцій кількох змінних.

Основні відомості:

1. Означення екстремума.

2. Необхідна та достатня умова екстремума у точці в загальному випадку.

3. Необхідна та достатня умова екстремума у точці у випадку та .

Задачі:

1. Знайти стаціонарні точки функцій

а) б)

2. Знайти точки екстремума функції

1. Знайти точки екстремума функції двох змінних

а) б)

2.2. Знайти максимальне і мінімальне значення функції в колі .

2.3. На площині знайти точку, сума квадратів відстаней якої до прямих буде найменшей.

Завдання для самостійної роботи

Знайти стаціонарні точки

1.

2.

3.

4.

5. .

Знайти точки екстремума

6. 7.

8.

9. 10.

11. 12.

13.

14.

Знайти максимальне та мінімальне значення функції.

15. у прямокутнику

16. у трикутнику

17. у прямокутнику

18. Розкласти додатне число а на три позитивних додатка так, щоб їх добуток був найбільшим.

19. Дано точок . На площині знайти точку, сума квадратів відстаней якої від цих точок була б найменшою.

20. У кулю з діаметром вписати прямокутний паралелепіпед найбільшого об’єму.