
- •Передмова
- •Лекція №1 Похідна функції однієї змінної. Властивості.
- •Похідна, диференціювання та їх зв’язок.
- •Основні властивості диференційованих функцій.
- •3. Основні теореми диференціального числення для функції однієї змінної.
- •1. Теореми Роля і Лагранжа.
- •Похідна вищого ґатунку. Формула Тейлора.
- •Практичне заняття №1 Тема: Похідна. Диференційованість функції.
- •Практичне заняття №2 Тема: Властивості функцій диференційованих на відрізку.
- •Практичне заняття №3 Тема: Похідні та диференціали вищих порядків. Формула Тейлора.
- •Практичне заняття №4 Тема: Формула Тейлора. Обчислення границь за допомогою формули Тейлора.
- •1. Дослідження монотонності.
- •2. Необхідна і достатня умова локального екстремуму.
- •3. Опуклі функції.
- •4. Правило Лопіталя.
- •Практичне заняття №7 Тема: Дослідження функцій.
- •Скалярний добуток
- •2. Лінійні оператори.
- •3. Простори неперервних лінійних операторів. Норма оператора
- •Практичне заняття №8 Тема: Лінійний нормований простір зі скалярним добутком. Лінійні оператори.
- •Лекція №4 Похідна у напрямку. Частинні похідні. Повна похідна.
- •1. Похідна у напрямку.
- •2. Повна похідна
- •Практичне заняття №9 Тема: Частинні похідні. Похідна у напрямку. Повна похідна.
- •Лекція №5 Геометрична інтерпретація похідної відображення. Градієнт.
- •1. Геометрична інтерпретація похідної відображення.
- •2. Градієнт дійсної функції в евклідовому просторі. Механічний зміст градієнта.
- •Практичне заняття №10 Тема: Геометричний зміст похідної функції. Механічний зміст похідної.
- •Лекція №6 Диференціал. Загальні закони диференціювання
- •1. Диференціал
- •2. Загальні закони диференціювання.
- •Практичне заняття №11 Тема: Диференціал функції. Загальні закони диференціювання.
- •Лекція №7 Формула скінчених приростів
- •Теорема про скінчений приріст. Нижче всюди будемо припускати, що і - лінійні, нормовані, повні простори.
- •Достатні умови диференційованості функції. Спочатку узагальнимо означення частинної похідної та випадок декартового добутку нормованих просторів.
- •Лекція №8 Похідні вищих порядків. Формула Тейлора.
- •1. Похідні вищих порядків. Означення. Приклади в
- •2. Симетричність похідної вищого порядку
- •3. Формула Тейлора. Приклади в і
- •Практичне заняття №12 Тема: Похідна та диференціал вищого порядку. Формула Тейлора.
- •1. Дослідження внутрішніх екстремумів
- •2. Необхідні і достатні умови екстремуму у випадку
- •Практичне заняття №13 Тема: Дослідження екстремумів у випадку функцій кількох змінних.
- •Лекція №10 Теорема про неявну функцію
- •1. Теорема про неявну функцію
- •2. Обернена функція.
- •Лекція №11 Умовні екстремуми
- •Необхідна умова умовного локального екстремуму.
- •Випадок відображення
- •Достатня умова умовного локального екстремуму.
- •Практичне заняття №14 Тема: Умовні локальні екстремуми.
- •Література
Лекція №7 Формула скінчених приростів
Теорема про скінчений приріст. Нижче всюди будемо припускати, що і - лінійні, нормовані, повні простори.
Теорема. Нехай неперервне відображення нормованого простору Х в нормований простір Y. Якщо на відрізку
функція f диференційована у всіх
точках інтервалу
,
то
Доведення.
Покажемо нерівність для будь-якого
відрізку
.
Супремум береться на всьому відрізку
.
Позначимо
,
.
Скористаємося співвідношенням
справедливим для невід’ємних чисел,
які задовольняють умовам:
,
.
При
це очевидно. В силу однорідності воно
справедливе в загальному випадку.
Припустимо, що нерівність, яку треба
довести не виконується, тобто
.
Тоді відрізок
розіб’ємо пополам на два відрізка і
відповідно позначимо
і
і прирости функції
і
.
Для одного з одержаних відрізків буде
виконуватись нерівність
(*).
Розбиваючи цей відрізок
пополам і повторюючи далі всю процедуру
отримаємо послідовність
,
.
Нехай
,
яка існує оскільки Х - повний простір.
Виконавши додатково розбиття кожного
з відрізків
точкою
і знову обираючи той, для якого виконується
нерівність (*), одержимо послідовність
відрізків, один кінець яких
,
а інший
,
але
,
так як
і
,
але f диференційована в
,
тобто
при
.
Значить, взявши
так, що
при достатньо великих
будемо мати
,
що суперечить одержаній нерівності
(**). Таким чином, припущення невірне і
Спрямувавши
в силу неперервності f і нерівності
одержимо твердження теореми.
Наслідок. Якщо
,
а
,
що задовольняє теоремі про скінчений
приріст, то
.
Доведення.
Розглянемо відображення
,
.
Тоді
задовольняє теоремі про скінчений
приріст
,
,
,
.
Достатні умови диференційованості функції. Спочатку узагальнимо означення частинної похідної та випадок декартового добутку нормованих просторів.
Нехай
,
де
- нормовані простори. При фіксованих
розглянемо функцію
,
якщо вона в точці
має похідну, то будемо називати її
частинною похідною функції
у
точці
у напрямку х і позначати
.
Відмітимо, що означення, яке приводилось
раніше, випливає з цього, якщо
простір натягнутий на орт
,
тоді частинна похідна
,
де
,
тобто обидва означення співпадають.
Теорема.
Нехай
окіл точки х нормованого простору
,
що є прямим добутком нормованих просторів
,
і нехай
,
Y – нормований простір. Якщо в U
відображення f має усі частинні
похідні, то при умові їх неперервності
у точці х відображення f
диференційоване в цій точці.
Доведення.
Доведемо для спрощення при
.
Перевіримо, що лінійне відносно
відображення
і є похідна f у точці х .
.
З наслідку теореми про скінчений
приріст маємо,
Оскільки
,
то з неперервності частинних похідних
,
в точці
очевидно слідує, що права частина
при
,
тобто
.
Приклад.
При
маємо диференційованість
в х якщо
існують в деякому околі точки х і
неперервні в х.
Зауваження.
Доведено, що якщо
і диференційоване, то
,
.
Лекція №8 Похідні вищих порядків. Формула Тейлора.
1. Похідні вищих порядків. Означення. Приклади в
Нехай
– нормовані, повні простори і f –
диференційоване і
.
Якщо
означена в деякому околі х і
диференційоване відображення, то його
похідне відображення
називається другим похідним відображенням
і позначається
.
Означення.
Похідним відображенням порядку
відображення
у точці
називається похідна в цій точці до
похідного відображення порядку
від f.
,
тобто
можна інтерпретувати як
-
лінійний неперервний оператор.
Для конкретизації цього означення може бути вдало використано поняття похідної за направленням.
При
в розумінні означення, раніше зазначеного;
при
,
то фіксуючи
,
а обчисливши значення оператора на
матимемо
,
отже
,
тому
.
Крім того, з означення похідної у напрямку, матимемо
,
тобто
.
Аналогічно,
Приклад.
,
.
Для будь-яких
,
Отже
Аналогічно
Д
ля
будь-якого k будемо мати
Крім того, нижче будемо називати
диференціалом k-го ґатунку в точці х
відображення
вираз
,
де
довільний вектор
.
У випадку нашого прикладу,
,
маємо
,
де
.