Лекція №6 Диференціал. Загальні закони диференціювання

1. Диференціал

Нехай функція диференційована в , тоді . – повний диференціал або диференціал у точці : .

Якщо позначити , то .

Приклади.

1. Нехай , тоді . Якщо , то .

2. .

3. , то

.

2. Загальні закони диференціювання.

Нехай - лінійні, нормовані простори.

1. Якщо відображення диференційовані в точці , то їх лінійна комбінація також диференційована в х і

.

Доведення. Для будь-якого

2. Якщо відображення диференційоване в точці , а відображення диференційоване в , то композиція цих відображень диференційована в точці х і .

Доведення. Надамо х приросту , тоді одержимо прирости для змінних у і z, які позначимо відповідно і . , при . , при . Тоді

.

При та в силу неперервності f у точці х при при .

Отже, при . Таким чином права частина рівності набуде вигляду , де при , тобто .

Приклади.

1. Якщо , то складна функція має похідну

2. Якщо і

,

а , то

3. Враховуючи властивість 2 виконується властивість інваріантності форми першого диференціала. Тобто, якщо , а і диференційовані в точках і відповідно, то . Тобто форма диференціала не залежить від того х- незалежна змінна чи функція.

4. лінійне неперервне відображення, тоді , тобто , . Дійсно , таким чином . Якщо лінійна функція і її похідна дорівнює даній функції .

5. , а , тоді випливає з диференційованості складної функції та приклада 4.

3. Нехай неперервне в точці відображення, що має обернене , визначене в околі точки і неперервне в цій точці. Якщо f диференційоване в х і в цій точці має обернене , то відображенні диференційоване в , причому .

Доведення. Нехай – приріст х. Тоді , з неперервності f в х, при . Оскільки , то в силу неперервності в у при , крім того . Враховуючи рівність , де при , маємо , оскільки існує. Крім того, при ,

, де - обмежена. Отже , де при , що і треба було довести.

Приклади.

1. , тоді існування еквівалентне нерівності і .

2. , тоді існування означає, що визначник матриці Якобі, відмінний від нуля.

Практичне заняття №11 Тема: Диференціал функції. Загальні закони диференціювання.

Основні відомості:

1. Означення диференціала.

2. Властивості диференційовання.

Задачі:

1. та диференційована. Знайти

2. Обчислити: 1. 2. 3.

3. Обчислити

1. В круговому секторі радіус та центральний кут . Як зміниться площа цього сектору, якщо:

1. збільшити на ;

2. кут зменшити на .

2. Період коливання маятника визначається за формулою , де - довжина,

9,8 м/сек² - прискорення. Як треба змінити довжину маятника 0,2 м, щоб період збільшився на 0,05 сек?

3. Довести наближену формулу , де .

1. Нехай , - диференційовані. Знайти .

2. Довести формулу обчислення складної часткової похідної.

3. Обчислити: 1). , , , . Знайти , . 2). . Знайти , .

Завдання для самостійної роботи.

1. Знайти для , якщо .

2. Знайти для , якщо .

3. Знайти для , якщо .

4. . Знайти

5. . Знайти .

6. Знайти .

7. Знайти .

8. Знайти .

9. Сторона квадрату м. З якою абсолютною похибкою можна обчислити площу квадрату?

10. Довести формулу , де . Знайти .

11. Визначити, як приблизно збільшиться об’єм шару, якщо його радіус см збільшити на см.

12. Як приблизно зміниться (у відсотках) сила току в проводнику, якщо його опір збільшиться на 1%.

13. Знайти .

14. Знайти

15. Знайти

16. , , . Знайти , .

17. , , , . Знайти , .

18. , , . Знайти , .

19. , , . Знайти = .

20. , . Знайти = .