16. Криві зростання.
Криві зростання описують різні тенденції економічних процесів, наприклад, життєвий цикл товару, процес нагромадження капіталу, маркетингові зусилля фірми тощо. Економічна практика вже накопичила певний досвід і певні типи кривих, які найчастіше використовуються в макро- та мікроекономічних дослідженнях. До таких кривих відносяться:
-
Експоненційна функція
Степенева(мультиплікативна)
Зворотна
Квадратична
Модифікована експонента
Крива Гомперця
Логістична крива
У загальному випадку однофакторну економетричну модель можна подати у вигляді y = f(x) + u, де f(x) - одна з функцій зростання, а u - випадкова величина.
Як і у випадку з простою лінійною регресією, основне завдання полягає у розрахунку невідомих параметрів кривих зростання і подальшому аналізі обраної моделі. Оцінку невідомих параметрів проводять по-різному: експоненційні функції шляхом логарифмічних перетворень зводять до лінійної регресії, квадратичні функції зводять до багатофакторної регресії, для інших використовують ітеративні методи, метод трьох точок, метод Тейла тощо. Для тих функцій, які зводять до лінійної регресії, збігається вся методологія дослідження як і у випадку простої лінійної регресії.
17. Зведення деяких нелінійних моделей до лінійних. (Приклади використання нелінійних моделей на практиці)
Найбільш популярною моделлю в економіці є лінійна регресія. Проте не всі економічні процеси можна нею моделювати. Тому на практиці використовуються складніші моделі з нелінійною залежністю між показником у та фактором х. За методикою оцінок параметрів парні нелінійні регресії розглядаються двох видів: 1) нелінійні за факторами, але лінійні за невідомими параметрами, які підлягають оцінці; 2) нелінійні за факторами і параметрами. Регресії, нелінійні за факторами, але лінійні за оцінюваними параметрами, називаються квазілінійними.
Парну
квазілінійну регресію можна записати
в загальному вигляді:
Заміною величин
нелінійна
парна регресія приводиться до лінійної
парної регресії. Таким
методом зводяться функції: логарифмічна,
гіперболічна.
В регресіях нелінійних за факторами та параметрами логарифмують праву та ліву частину рівняння і проводять заміну змінних. Таким чином нелінійна регресія зводиться до лінійного виду. Параметри лінійної моделі оцінюють за відомими формулами використовуючи в якості вихідних даних значення нових змінних. Для оцінки адекватності нелінійної парної регресії спостережуваним даним можна використовувати критерій Фішера. Перевірка виконується за таким же алгоритмом, що й для лінійної парної регресії.
У тих випадках, коли нелінійна регресія перетворюється в лінійну шляхом логарифмування і заміни змінних, довірча інтервальний прогноз знаходять для відповідної лінійної регресії, а потім, використовуючи зворотні перетворення для меж інтервалів довіри прогнозу лінійної регресії, знаходять межі інтервалів довіри прогнозу нелінійної регресії.
В практиці використовуються:
Крива джонса – залежність попиту на нові товари:
Y= a0+ea1-(a2/x)
Крива Лаффера – залежність податкових надходжень від податкової ставки:
Y=a0*ea1(x-a2)^2
Крива Голберца – залежність процесів демографії, маркетингу
Y=ea0+a1x