Знаходження статистичних оцінок параметрів методом найменших квадратів (мнк) через прирости.
Основу даного методу складають властивості оцінок, знайдених МНК, які полягають в тому, що лінія регресії обов’язково проходить через точку середніх значень.
Знайдемо середні значення у та х:
усер=∑уі/n; хсер=∑хі/n
тоді р-ня набуде вигляду: усер=а0+а1хсер
позначимо прирости (відхилення від середнього арифметичного): уі- усер=Δ уі ; хі- хсер=Δ хі, тоді ŷ=усер+а1 Δ хі
Згідно критерію маємо:
Щоб дослідити ф-цію на min знаходимо її похідну і прирівнюємо до 0:
Отже , статист. оцінку а1 можна обчисл. за ф-лою:
ао= усер- а1хсер
Дані ф-ли можна записати у вигляді:
cov(x,y)=1/n∑ (хі- хсер)( уі- усер)
Дисперсія змінної х визнач:
σ2(х)= var(х)= 1/n∑ (хі- хсер)2
Стандартна похибка оцінки за рівнянням економетричної моделі.
Застосовуючи метод найменших квадратів можна знайти оцінки α0 і α1 економетричної моделі у вигляді одного рівняння: y = а0 + а1 x + u .
Сподіваємося, що оцінки а0 і а1 якнайкраще відображають істинні значення α0 і α1 економетричної моделі. Однак, так як ми інтуїтивно висували гіпотезу про лінійний характер зв’язку і, крім того, користувалися для знаходження оцінок а0 і а1 лише вибіркою із генеральної сукупності, необхідно визначити похибки знайдених оцінок.
Нормальні рівняння МНК дають можливість розрахувати оцінки а0 і а1 навіть у тому випадку, коли гіпотеза y = а0 + а1x + u вибрана не зовсім вдало. Основна ідея аналізу оцінок базується на тому, що значення змінної y визначаються двома компонентами:
1. Систематичною складовою α0 + α1x ;
2. Випадковою складовою u .
( yі – yсер.) = (ŷі − yсер) + ( yі − ŷі ) ; (1)
( yі − yсер) називають загальним відхиленням.
(ŷі − yсер) − поясненим відхиленням, адже його можна пояснити (обрахувати) маючи оціночну пряму
(yі − ŷі ) − непоясненим відхиленням, адже його не можна пояснити маючи оціночну пряму.
Піднесемо обидві частини (1) до квадрату та просумуємо за всіма індексами.
∑ ( yі – yсер.)2 = ∑(ŷі − yсер) 2+2∑(ŷі − yсер) ( yі − ŷ ) +∑( yі − ŷі ) 2
∑ ( yі – yсер.)2 =∑(ŷі − yсер) 2+∑( yі − ŷі ) 2; (2)
СКЗ = СКП + СКН
CKЗ = ∑ ( yі – yсер.)2 − загальна сума квадратів;
CKП =∑(ŷі − yсер) 2− пояснена сума квадратів;
CKН = ∑( yі − ŷі ) 2 − непояснена сума квадратів.
Поділимо (2) на n , отримаємо вираз:
∑ ( yі – yсер.)2 /n= ∑(ŷі − yсер) 2/n +∑( yі − ŷі ) 2/n
∑ ( yі – yсер.)2 /n = σ заг. − загальна дисперсія;
∑(ŷі − yсер) 2/n= σ поясн. − пояснена дисперсія;
∑( yі − ŷі ) 2/n = σ непо ясн − непояснена дисперсія.
σ2 заг.= σ2 поясн.+ σ2 непоясн.
Якщо вважати незмінною σ2 заг., то чим менша σ2 непоясн., тим більша σ2 поясн. і тим меншими будуть відхилення даних вибірки від оціночної прямої.
Кожній сумі квадратів з (2) ставиться у відповідність число, яке називають ступенем вільності. Воно показує, скільки незалежних елементів інформації, що утворилися з елементів y1, y2,...,yn, необхідно для розрахунку суми квадратів.
Для отримання CKЗ використовують числа {( y1- yсер),( y2- yсер),…,( yn- yсер)}. Ці числа мають властивість ∑ ( yі – yсер.)2=0
Тому серед них незалежними будуть n −1 чисел. Звідси ступінь вільності ∑( yі – yсер.)2 є n −1
Наступну суму CKП =∑(ŷі − yсер) 2 можна записати у вигляді
∑(ŷі − yсер) 2 = α1∑(хі − хсер) 2
Отже, ∑(ŷі − yсер) 2 утворюється, використанням однієї одиниці незалежної інформації − α1, тому ступінь вільності її дорівнює 1.
Сума квадратів CKН = ∑( yі − ŷі ) 2 матиме n −2 ступені вільності. Вона обраховується як різниця між кількістю спостережень n і оцінюваних параметрів (їх у випадку лінійної економетричної моделі 2 – α0 і α1).
Число, що утворюється діленням суми квадратів на відповідний ступінь вільності, називається середнім квадратом. Середні квадрати обчислюються тільки для CKП і CKН.
Додатній корінь з CKН називається стандартною похибкою оцінки за рівнянням економетричної моделі:
σ yx =√(∑( yі - ŷі )2/ n -2.
Стандартна похибка оцінки за рівнянням економетричної моделі є мірою непоясненої варіації в σ заг. Якщо стандартна похибка дорівнює 0, то це означає, що σ непоясн.=0 і всі дані уі лежать на оціночній прямій, тобто зв’язок між y та х функціональний.
Найбільше значення стандартна похибка має, коли оцінка а1 оціночного рівняння дорівнює 0 і саме оціночне рівняння має вигляд y=αˆ , де αˆ = y , тобто оціночна пряма є прямою паралельною осі ОХ, віддаленою від початку координат на величину середнього значення результативної змінної. В даному випадку σ2 заг. складається тільки з σ2 непоясн. і σ2 непоясн. = σ2 заг..
Отже, інтервал зміни σ yx : 0≤ σ yx ≤ σ заг.
σ yx на практиці застосовується при побудові довірчих інтервалів (інтервальних оцінок), які визначають область ймовірних значень у, при відповідних значеннях х.