Уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку.

Сейчас решим очень важную задачу: получим уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом k и проходящую через точку  .

Так как прямая проходит через точку  , то справедливо равенство  . Число b нам неизвестно. Чтобы избавиться от него, вычтем из левой и правой частей уравнения прямой с угловым коэффициентом соответственно левую и правую части последнего равенства. При этом получим  . Это равенство представляет собой уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом k, которая проходит через заданную точку  .

Рассмотрим пример.

Пример.

Напишите уравнение прямой, проходящей через точку  , угловой коэффициент этой прямой равен -2.

Решение.

Из условия имеем  . Тогда уравнение прямой с угловым коэффициентом примет вид  .

Ответ:

Пример.

Напишите уравнение прямой, если известно, что она проходит через точку   и угол наклона к положительному направлению оси Ox равен  .

Решение.

Сначала вычислим угловой коэффициент прямой, уравнение которой мы ищем (такую задачу мы решали в предыдущем пункте этой статьи). По определению  . Теперь мы располагаем всеми данными, чтобы записать уравнение прямой с угловым коэффициентом:

Ответ:

Пример.

Напишите уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящую через точку   параллельно прямой  .

Решение.

Очевидно, что углы наклона параллельных прямых к оси Ox совпадают (при необходимости смотрите статью параллельность прямых), следовательно, угловые коэффициенты у параллельных прямых равны. Тогда угловой коэффициент прямой, уравнение которой нам нужно получить, равен 2, так как угловой коэффициент прямой   равен 2. Теперь мы можем составить требуемое уравнение прямой с угловым коэффициентом:

Ответ:

Переход от уравнения прямой с угловым коэффициентом к другим видам уравнения прямой и обратно.

При всей привычности уравнение прямой с угловым коэффициентом далеко не всегда удобно использовать при решении задач. В некоторых случаях задачи проще решаются, когда уравнение прямой представлено в другом виде. К примеру, уравнение прямой с угловым коэффициентом   не позволяет сразу записать координаты направляющего вектора прямой или координаты нормального вектора прямой. Поэтому следует научиться переходить от уравнения прямой с угловым коэффициентом к другим видам уравнения этой прямой.

Из уравнения прямой с угловым коэффициентом легко получить каноническое уравнение прямой на плоскости вида  . Для этого из правой части уравнения  переносим слагаемое b в левую часть с противоположным знаком, затем делим обе части полученного равенства на угловой коэффициент k:  . Эти действия приводят нас от уравнения прямой с угловым коэффициентом к каноническому уравнению прямой.

Пример.

Приведите уравнение прямой с угловым коэффициентом   к каноническому виду.

Решение.

Выполним необходимые преобразования:  .

Ответ:

Хорошо видно, что общее уравнение прямой легко получить из уравнения прямой с угловым коэффициентом вида  . Для этого нужно выполнить следующее действие  . Далее от общего уравнения прямой можно перейти к уравнениям прямой другого вида. Эту процедуру Вы можете посмотреть в разделе теорииприведение общего уравнения прямой к уравнениям этой прямой другого вида.

Пример.

Прямая задана уравнением прямой с угловым коэффициентом  . Является ли вектор   нормальным вектором этой прямой?

Решение.

Для решения этой задачи перейдем от уравнения прямой с угловым коэффициентом к общему уравнению этой прямой:  . Нам известно, что коэффициенты перед переменными x и y в общем уравнении прямой являются соответствующими координатами нормального вектора этой прямой, то есть,   - нормальный вектор прямой  . Очевидно, что вектор   коллинеарен вектору  , так как справедливо соотношение   (при необходимости смотрите статью условие коллинеарности векторов). Таким образом, исходный вектор   также является нормальным вектором прямой  , а, следовательно, является нормальным вектором и исходной прямой  .

Ответ:

да, является.

А сейчас будем решать обратную задачу – задачу приведения уравнения прямой на плоскости к уравнению прямой с угловым коэффициентом.

От общего уравнения прямой вида  , в котором  , очень легко перейти к уравнению с угловым коэффициентом. Для этого нужно общее уравнение прямой разрешить относительно y. При этом получаем  . Полученное равенство представляет собой уравнение прямой с угловым коэффициентом, равным  .

Пример.

Дано уравнение прямой  . Получите уравнение этой прямой с угловым коэффициентом.

Решение.

Разрешим исходное уравнение относительно y, тем самым получим уравнение прямой с угловым коэффициентом:  .

Ответ:

Аналогично, разрешив уравнение прямой в отрезках   или каноническое уравнение прямой   относительно переменной y, мы получим уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Вот схема необходимых действий для приведения уравнения прямой в отрезках к уравнению прямой с угловым коэффициентом .

А следующая схема поясняет приведение канонического уравнения прямой к уравнению прямой с угловым коэффициентом

Пример.

На плоскости задана прямая уравнением  . Приведите это уравнение к уравнению прямой с угловым коэффициентом.

Решение.

Оставим в левой части исходного уравнения только слагаемое с переменной y, остальные перенесем в правую часть с противоположным знаком:  . Умножив обе части полученного равенства на -3получаем требуемое уравнение прямой с угловым коэффициентом:  .

Ответ:

Пример.

Приведите уравнение прямой   к уравнению с угловым коэффициентом.

Решение.

Пропорция   представляет собой равенство  . Разрешим его относительно y, тем самым получим искомое уравнение прямой с угловым коэффициентом:  .

Ответ:

Параметрические уравнения прямой вида   сначала следует привести к каноническому уравнению прямой (подобный пример показан в разделе переход от параметрических уравнений прямой к другим видам уравнения этой прямой), а уже потом можно переходить к уравнению этой прямой с угловым коэффициентом.

Пример.

Найдите угловой коэффициент прямой, заданной параметрическими уравнениями  .

Решение.

Если перейти от заданный параметрических уравнений прямой к уравнению этой прямой с угловым коэффициентом, то мы сразу получим значение углового коэффициента.

Выполним переход.

Для этого получим сначала каноническое уравнение исходной прямой:  .

Теперь разрешим полученное равенство относительно y и получим нужное уравнение прямой с угловым коэффициентом:

Таким образом, угловой коэффициент прямой равен двум.

Ответ:

k = 2.