22.Собственные векторы и собственные значения.

Определение собственного числа и собственного вектора квадратной матрицы

Собственным вектором квадратной матрицы M называется вектор , который удовлетворяет соотношению , где — собственное значение, соответствующее данному собственному вектору. Одному собственному значению может соответствовать несколько (линейно независимых) собственных векторов, в таком случае говорят о собственном подпространстве для данного собственного значения. Собственными векторами линейного преобразования называются собственные вектора матрицы, определяющей это преобразование.

Свойства собственных векторов и значений Править

 Линейная комбинация собственных векторов матрицы , соответствующих одному и тому же собственному значению , также является собственным вектором с собственным значением .

 Количество различных собственных значений не может превышать размер матрицы.

 Сумма размерностей собственных подпространств, соответствующих всем собственным значениям равна размерности матрицы (в случае рассмотрения комплексных чисел).

 Собственные векторы, самосопряженного оператора А соответствующие различным собственным значениям ортогональны. Т. е. если , и , то

Для произвольной матрицы это не верно.

23.Уравнение прямой линии с угловым коэффициентом/

Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид  , где k - угловой коэффициент прямой, b – некоторое действительное число. Уравнением прямой с угловым коэффициентом можно задать любую прямую, не параллельную оси Oy (для прямой параллельно оси ординат угловой коэффициент не определен).

Давайте разберемся со смыслом фразы: «прямая на плоскости в фиксированной системе координат задана уравнением с угловым коэффициентом вида  ». Это означает, что уравнению   удовлетворяют координаты любой точки прямой и не удовлетворяют координаты никаких других точкек плоскости. Таким образом, если при подстановке координат точки   в уравнение прямой с угловым коэффициентом  получается верное равенство, то прямая проходит через эту точку. В противном случае точка не лежит на прямой.

Пример.

Прямая задана уравнением с угловым коэффициентом  . Принадлежат ли точки   и   этой прямой?

Решение.

Подставим координаты точки   в исходное уравнение прямой с угловым коэффициентом:  . Мы получили верное равенство, следовательно, точка М₁ лежит на прямой.

При подстановке координат точки   получаем неверное равенство:  . Таким образом, точка М₂ не лежит на прямой.

Ответ:

точка М₁ принадлежит прямой, М₂ – не принадлежит.

Следует отметить, что прямая, определенная уравнением прямой с угловым коэффициентом  , проходит через точку  , так как при подстановке ее координат в уравнение мы получаем верное равенство:  .

Таким образом, уравнение прямой с угловым коэффициентом   определяет на плоскости прямую, проходящую через точку   и образующую угол   с положительным направлением оси абсцисс, причем  .

В качестве примера изобразим прямую, определяемую уравнением прямой с угловым коэффициентом вида  . Эта прямая проходит через точку   и имеет наклон   радиан (60 градусов) к положительному направлению оси Ox. Ее угловой коэффициент равен  .