19. Геометрический и механический смысл скалярного произведения векторов. Связь с проекциями
Алгебраическое значение проекции вектора на вектор вдоль прямой, перпендикулярной , очевидно, равно
-
Аналогично
Таким образом, скалярное произведение
Связь с длинами
Рассмотрим скалярное произведение вектора на самого себя.
Связь с углами
Рассмотрим скалярное произведение единичных векторов. Поскольку их длины равны 1, то
20.Векторное произведение векторов. Свойства.
Векторным
произведением вектора 
на
вектор 
называется
вектор, обозначаемый символом 
и
определяемый следующими тремя условиями:
1).
Модуль вектора
равен 
,
где 
-
угол между векторами
и
;
2). Вектор перпендикулярен к каждому из вектора и ;
3). Направление вектора соответствует «правилу правой руки». Это означает, что если векторы , и приведены к общему началу, то вектор должен быть направлен так, как направлен средний палец правой руки, больой палец которой направлен по первому сомножителю (то есть по вектору ), а указательный - по второму (то есть по вектору ).
Векторное
произведение зависит от порядка
сомножителей, именно:
.
Модуль
векторного произведения
равен
площади S параллелограмма,
построенного на векторах
и
:
.
Само
векторное произведение может быть
выражено формулой
,где 
-
орт векторного произведения. Векторное
произведение
обращается
в нуль тогда и только тогда, когда
векторы
и
коллинеарны.
В частности, 
.
Если система координатных осей правая и векторы и заданы в этой системе своими координатами:
, 
,
то
векторное произведение вектора
на
вектор
определяется
формулой
или
21.Смешанное произведение трех векторов. Геометрический смысл смешанного произведения.
Тройкой
векторов называются три вектора, если
указано, какой из них считается первым,
какой вторым и какой третьим. Тройку
векторов записывают в порядке нумерации;
например, запись
,
, 
означает,
что вектор
считается
первым,
-
вторым,
-
третьим.Тройка некомпланарных
векторов
,
,
называется
правой, если составляющие ее векторы,
будучи приведены к общему началу,
располагаются в порядке нумерации
аналогично тому, как расположены большой,
указательный и средний пальцы правой
руки. Если векторы
,
,
расположены
аналогично тому, как расположены большой,
указательный и средний пальцы левой
руки, то тройка этих векторов называется
левой.
Смешанным
произведенем трех векторов
,
,
называется
число, равное векторному произведению
,
умноженному скалярно на вектор
,
то есть 
.
Имеет
место тождество
,
ввиду чего для обозначения смешанного
произведения
употребляется
более простой символ 
.
Таким образом,
, 
.
Смешанное
произведение
равно
объему параллелепипеда, построенного
на векторах
,
,
,
взятого со знаком плюс, если тройка
правая,
и со знаком минус, если эта тройка левая.
Если векторы
,
,
компланарны
(и только в этом случае), смешанное
произведение
равно
нулю; иначе говоря, равенство 
есть
необходимое и достаточное условие
компланарности векторов
,
,
.
Если
векторы
,
,
заданы
своими координатами:
,
, 
,то
смешанное произведение
определяется
формулой
.
Напомним,
что система координатных осей предполагется
правой (вместе с тем является правой и
тройка векторов 
, 
, 
).