15.Разложение вектора по базису.
Теорема.Любой вектор n-мерного векторного пространства единственным образом раскладывается по базису.
Доказательство.
Пусть 
-
базис n-мерного
векторного пространства. Добавим к этим
векторам n-мерный
вектор x.
Тогда полученная система векторов будет
линейно зависимой и вектор x может
быть линейно выражен через векторы
: 
,
где 
-
некоторые числа. Так мы получили
разложение вектора x по
базису. Осталось доказать, что это
разложение единственно.
Предположим,
что существует еще одно разложение 
,
где 
-
некоторые числа. Отнимем от левой и
правой частей последнего равенства
соответственно левую и правую части
равенства
:
Так
как система базисных векторов
линейно
независима, то по определению
линейной независимости системы
векторов полученное
равенство возможно только тогда, когда
все коэффициенты 
равны
нулю. Поэтому, 
,
что доказывает единственность разложения
вектора по базису.
Определение. Коэффициенты называются координатами вектора x в базисе .
16. Координаты вектора.
Координа́ты ве́ктора ― коэффициенты единственно возможной линейной комбинации базисных векторов в выбранной системе координат, равной данному вектору.
,
где 
—
координаты вектора.
Свойства
Равные векторы в единой системе координат имеют равные координаты
Координаты коллинеарных векторов пропорциональны:
Подразумевается,
что координаты вектора 
не
равны нулю.
Квадрат длины вектора равен сумме квадратов его координат:
При умножении вектора на действительное число каждая его координата умножается на это число:
При сложении векторов соответствующие координаты векторов складываются:
Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их соответствующих координат:
Векторное произведение двух векторов можно вычислить с помощью определителя матрицы
где
Аналогично, смешанное произведение трех векторов можно найти через определитель
17.Направляющие косинусы.
Направляющие косинусы вектора (в пространстве) – это косинусы углов, которые вектор образует с положительными полуосями координат. Направляющие косинусы однозначно задают направление вектора. Если вектор имеет длину 1, то его направляющие косинусы равны его координатам. В общем случае для вектора с координатами (a; b; c) направляющие косинусы равны:
где , , – углы, составляемые вектором с осями x, y, z соответственно.
Сумма квадратов направляющих косинусов равна 1.
18.Скалярное произведение векторов. Свойства.
скалярным произведением двух ннулевых векторов а и б называется число,равное произведению ддлин этих векторов на косинус угла между ними.
Обознчается аб. а*б=|a|*|b|*cosf
Скалярное произведение векторов равно модулю одного из них, умноженному на проекцию другого на ось, сонаправленную с первым вектором. ab=|a|*ПРAb=|b|*ПРБa
Свойства
теорема косинусов легко выводится с использованием скалярного произведения:
Угол между векторами:
Оценка угла между векторами:
в
формуле 
знак
определяется только косинусом угла
(нормы векторов всегда положительны).
Поэтому скалярное произведение > 0,
если угол между векторами острый, и <
0, если угол между векторами тупой.
Проекция вектора
на
направление, определяемое единичным
вектором 
:
,
условие ортогональности (перпендикулярности) векторов и
:
Площадь параллелограмма, натянутого на два вектора и , равна
