13.Метод Гаусса для решения слу.

Пусть исходная система выглядит следующим образом

Матрица   называется основной матрицей системы,   — столбцом свободных членов.

Тогда согласно свойству элементарных преобразований над строками основную матрицу этой системы можно привести к ступенчатому виду(эти же преобразования нужно применять к столбцу свободных членов):

При этом будем считать, что базисный минор (ненулевой минор максимального порядка) основной матрицы находится в верхнем левом углу, то есть в него входят только коэффициенты при переменных  .

Тогда переменные   называются главными переменными. Все остальные называются свободными.

Если хотя бы одно число  , где  , то рассматриваемая система несовместна, т.е. у неё нет ни одного решения.

Пусть   для любых  .

Перенесём свободные переменные за знаки равенств и поделим каждое из уравнений системы на свой коэффициент при самом левом   ( , где   — номер строки):

, где 

Если свободным переменным системы (2) придавать все возможные значения и решать новую систему относительно главных неизвестных снизу вверх (то есть от нижнего уравнения к верхнему), то мы получим все решения этой СЛАУ. Так как эта система получена путём элементарных преобразований над исходной системой (1), то по теореме об эквивалентности при элементарных преобразованиях системы (1) и (2) эквивалентны, то есть множества их решений совпадают.

Следствия: 1: Если в совместной системе все переменные главные, то такая система является определённой.

2: Если количество переменных в системе превосходит число уравнений, то такая система является либо неопределённой, либо несовместной.

14. Векторы. Линейные операции над векторами.

Величины, которые полностью определяются своим численным значением, называются скалярными. Примерами скалярных величин являются: площадь, длина, объем, площадь, температура, масса.

Вектор- направленный прямолинейный отрезок, т.е. отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление.

Нулевой вектор направления не имеет.

Векторы а и б называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельны прямых.

Три вектора в пространстве незывают компланарными,если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Если среди этих векторов хотя бы один нулевой или два любые коллинеарны, то такие векторы компланарны.

Можно складывать, вычитать и умножать векторы на число.

Линейное пространство — это множество элементов, называемых векторами, над которыми определённым образом определены операции сложения и умножения на число. В любом линейном пространстве можно выделить особую систему векторов, называемых базисом линейного пространства. Количество векторов в базисе равно размерности пространства. Любой вектор из пространства можно представить, как линейную комбинацию базисных векторов. То есть, если у нас есть базис  , то  , где   — это поле, над которым определенно линейное пространство  .

Выбор базиса в линейном пространстве неоднозначен, однако коэффициенты векторов при измерении базиса связанны определённым образом. Пусть есть базис   и  . Причём:  . Матрица  , полученная из коэффициентов   называться матрицей перехода от базиса   к базису   и связывает координаты вектора в различных базисах следующем образом:  . Связь между матрицами перехода между двумя базисами:  . Векторы могут иметь различную природу: направленные отрезки, матрицы, числа, функции и другие, однако все линейные пространства одной размерности изоморфны между собой.

Операции над векторами

Пусть в линейном пространстве выбран базис   и в нём представлены вектора  ,  , тогда суммой векторов   будет называется следующий вектор:  . Пусть есть число  , тогда произведением вектора   на число   будет называться следующий вектор:  Два ненулевых вектора   и   называются коллинеарными, если  .