8.Элементарные преобразования матриц. Ранг матрицы.

Последовательное умножение любой такой матрицы на заданную матрицу A слева (справа) называется левосторонним (правосторонним) элементарным преобразованием матрицы A.        Любое элементарное преобразование может быть реализовано умножением данной матрицы (слева или справа) на соответствующую элементарную матрицу.

• Элементарными называются следующие преобразования матрицы:

• 1) перестановка двух любых строк (или столбцов),

• 2) умножение строки (или столбца) на отличное от нуля число,

• 3) прибавление к одной строке (или столбцу) другой строки (или столбца), умноженной на некоторое число.

• Две матрицы называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью конечного множества элементарных преобразований.

• Эквивалентные матрицы не являются, вообще говоря, равными, но их ранги равны. Если матрицы А и В эквивалентны, то это записывается так: A ~ B.

• Канонической матрицей называется матрица, у которой в начале  главной диагонали стоят подряд несколько единиц (число которых  может равняться нулю), а все остальные элементы равны нулю,   например,  .

• При помощи элементарных преобразований строк и столбцов любую матрицу можно привести к канонической. Ранг канонической матрицы равен числу единиц на ее главной диагонали.

Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы. Обозначается r,r(A), rang A.

Минор, порядок которого определят ранг матрицы, называется базисным. У матрицы может быть несколько базисных миноров.

Свойства ранга марицы:

1. при транспонировании матрицы её ранг не меняется.

2. Если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд, то ранг матрицы не изменится.

3. Ранг матрицы не изменится при элементарных преобразованиях матрицы.

Ранг канонической матрицы равен числу единиц на главной диагонали. На этом основан один из способов вычисления ранга матрицы.

9.Система линейных алгебраических уравнений (слу). Основные понятия.

Система линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида. 

Здесь   — неизвестные, которые надо определить. Коэффициенты системы   и её свободные члены   предполагаются известными. Индексы коэффициента   системы обозначают номера уравнения   и неизвестного  , при котором стоит этот коэффициент.

Система называется однородной, если все её свободные члены равны нулю,  , иначе — неоднородной.

Система называется квадратной, если число   уравнений равно числу   неизвестных.

Решение системы уравнений — совокупность   чисел  , таких что подстановка каждого   вместо   в систему обращает все её уравнения в тождества.

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у нее нет ни одного решения. Совместная система может иметь одно или более решений.

Решения   и   совместной системы называются различными, если нарушается хотя бы одно из равенств:

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение; если же у нее есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределенной. Если уравнений больше, чем неизвестных, она называется переопределённой.