Определитель второго порядка

Определителем второго порядка называется число равное разности произведений элементов главной и второй диагонали.

Определитель третьего порядка

Определителем третьего порядка называется следующее выражение:

Определитель третьего порядка вычислить легко, если учесть следующее правило: со знаком плюс идут произведения троек чисел, расположенных на главной диагонали матрицы, и в вершинах треугольников с основанием параллельным этой диагонали и вершиной в противоположого угла матрицы. Со знаком минус идут тройки из второй диагонали и из треугольноков, построенных относительно этой диагонали. Следующая схема демонстрирует это правило, называемое правилом треугольников. В схеме синим (слева) отмечены элементы, чьи произведения идут со знаком плюс, а зеленым (справа) - со знаком минус.

6. Свойства определителей.

Свойство 1. Определитель не меняется при транспонировании. Это означает, что определитель матрицы равен определителю транспонированной матрицы (матрицы, в которой строки заменены соответствующими столбцами).

Свойство 2. При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак.

Свойство 3. Определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю.

Свойство 4. Общий множиель элементов какого либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.

Из свойств 3 и 4 следует, что если все элементы некоторого ряда пропорциональны соответствующим элементам параллельного ряда, то такой определитель равен нулю

Свойство 5. Если элементы какого либо ряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей.

Свойство 6. Определитель не изменится, если элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на любое число

Свойство 7. Определитель равен суме произведений элементов некоторого ряда на соответствующие им алгебраические дополнения.(для разложения определителя обычно выделяют тот ряд,где есть нулевые элементы)

Свойство 8. Сумма произведений какого-либо ряда определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.a11A12+a12A222+a13A23=0

Теорема (о разложении определителя по строке): определитель равен сумме произведений всех элементов какой-либо строки на их алгебраические дополнения.

7.Миноры и алгебраические дополнения элементов определителя. Разложение определителя по элементам строки (столбца).

Минором некоторого элемента aij определителя n-ого порядка называется определитель n-1ого порядка., полученный из исходного путём вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент. Обозначается mij.

Алгебраическим дополнением элемента aij определителя называется его минор, взятый со знаком +, если сумма i+j- четное число, и со знаком -,если эта сумма нечетная. Обозначается Аij=(-1)|i+j|*mij

Для разложения определителя обычно выбирают тот ряд, где есть нулевые элементы, т. к. соответствующие им слагаемые в разложении будут равны нулю.