47.Понятие функции
Одним из основных математических понятий является понятие функции. Понятие функции свяано с установлением зависимости(связи) между элементами двух множеств.
Пусть даны 2 непустых множства Х иУ. Соответствие f,которое каждому элементу х принадл Х сопоставляет один и тольо один элемент у принадл У, называется функцией и записывается у=f(x), хпринадлХ или f : Х-У. говорят ещё, что фунция f отображает множество Х на множество У.
Множество Х называется областью определения функции f и обозначается D(f). Множество всех у приннадл У называется множеством значений функции f и обозначается E(f).
48.Предел функции в точке (По Коши).
Число bназывается пределом функции у = f(x) при х, стремящемся к а (или в точке а), если для любого положительного числа e существует такое положительное число d, что при всех х ≠ а, таких, что |x – a | < d, выполняется неравенство | f(x) – a | < e .
Определения предела функции в точке по Коши и по Гейне эквивалентны: если число b служит пределом по одному из них, то это верно и по второму.
Указанный предел обозначается так:
49.Односторонние пределы.
В определении предела функции lim x cтр к х0 f(x)=A считается, что х стремится к х0 любым способом: оставаясь меньшим, чем х0, большим ,чем х0, или колеблясь около точки х0.
Бывают случаи, когда способ приближения аргумента х к х0 существенно влияет на значение предела функции. Поэтому вводят понятия односторонних пределов.
Пределы функции слева направо называются односторонними пределами. Очевидно, если сушествует лимит, то существуют и оба односторонних предела, причем А=А1=А2
50.Бесконечно малые функции.
Функция y=f(x) называется бесконечно
малой при x→a или
при x→∞,
если 
или 
,
т.е. бесконечно малая функция – это
функция, предел которой в данной точке
равен нулю.
Примеры.
Ф
ункция f(x)=(x-1)2 является
бесконечно малой при x→1,
так как 
(см.
рис.).Функция f(x) = tgx – бесконечно малая при x→0.
f(x) = ln (1+x)– бесконечно малая при x→0.
f(x) = 1/x– бесконечно малая при x→∞.
Установим следующее важное соотношение:
Теорема. Если
функция y=f(x) представима
при x→aв
виде суммы постоянного числа b и
бесконечно малой величины α(x):
f (x)=b+ α(x) то 
.
Обратно, если , то f (x)=b+α(x), где a(x) – бесконечно малая при x→a.
Доказательство.
Докажем первую часть утверждения. Из равенства f(x)=b+α(x) следует |f(x) – b|=| α|. Но так как a(x) – бесконечно малая, то при произвольном ε найдется δ – окрестность точки a,при всех x из которой, значения a(x) удовлетворяют соотношению |α(x)|<ε. Тогда |f(x) – b|< ε. А это и значит, что .
Если , то при любом ε>0 для всех х из некоторой δ – окрестность точки a будет |f(x) – b|< ε. Но если обозначимf(x) – b= α, то |α(x)|<ε, а это значит, что a – бесконечно малая.
Рассмотрим основные свойства бесконечно малых функций.
Теорема 1. Алгебраическая сумма двух, трех и вообще любого конечного числа бесконечно малых есть функция бесконечно малая.
Доказательство.
Приведем доказательство для двух
слагаемых. Пусть f(x)=α(x)+β(x),
где 
и 
.
Нам нужно доказать, что при произвольном
как угодно малом ε>0
найдетсяδ>0,
такое, что для x,
удовлетворяющих неравенству |x
– a|<δ,
выполняется |f(x)|< ε.
Итак, зафиксируем произвольное число ε>0. Так как по условию теоремы α(x) – бесконечно малая функция, то найдется такое δ1>0, что при |x – a|<δ1 имеем |α(x)|< ε/2. Аналогично, так как β(x) – бесконечно малая, то найдется такое δ2>0, что при |x – a|<δ2 имеем | β(x)|< ε/2.
Возьмем δ=min{ δ1, δ2}.Тогда в окрестности точки a радиуса δбудет выполняться каждое из неравенств |α(x)|< ε/2 и | β(x)|< ε/2. Следовательно, в этой окрестности будет
|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)| < ε/2 + ε/2= ε,
т.е. |f(x)|<ε, что и требовалось доказать.
Теорема 2. Произведение бесконечно малой функции a(x) на ограниченную функцию f(x) при x→a (или при x→∞) есть бесконечно малая функция.
Доказательство. Так как функция f(x) ограничена, то существует число М такое, что при всех значениях x из некоторой окрестности точки a|f(x)|≤M. Кроме того, так как a(x) – бесконечно малая функция при x→a, то для произвольного ε>0 найдется окрестность точки a, в которой будет выполняться неравенство |α(x)|< ε/M. Тогда в меньшей из этих окрестностей имеем | αf|< ε/M= ε. А это и значит, что af – бесконечно малая. Для случая x→∞ доказательство проводится аналогично.
Из доказанной теоремы вытекают:
Следствие
1. Если
и
,
то 
.
Следствие
2. Если
и c=const,
то 
.
Теорема 3. Отношение бесконечно малой функции α(x) на функцию f(x), предел которой отличен от нуля, есть бесконечно малая функция.
Доказательство.
Пусть 
.
Тогда 1/f(x) есть
ограниченная функция. Поэтому дробь 
есть
произведение бесконечно малой функции
на функцию ограниченную, т.е. функция
бесконечно малая.
51.Бесконечно большие функции.
Функция F(x) называется бесконечно большой (сокращенно б.б.) при x (при x ), если для любого положительного числа K существует число x0, такое, что для всех x > x0 выполняется неравенство: |F (x)| > K.
Функция F(x) называется бесконечно большой при x x0 (при x x0–0 или x x0+0 ), если для любого K > 0 существует > 0 такое, что для любого x(x0 – , x0 + ), (x(x0 – , x0) или x(x0, x0 + ) соответственно) выполняется неравенство |F(x)| > K.
Очевидно,
что всякая бесконечно большая функция
не является ограниченной при
x
a,
а потому
F
(x)
не существует.
Если F (x) – б.б. функция при x a, то говорят, что F (x) стремится к бесконечности и пишут: F (x) = . Если при этом F (x) > 0, то пишут: F (x) = ; если же F(x) < 0, то пишут: F (x) = .
Пример
1.
F1(x)
= x2
является б.б. при x
и x
, причем F1(x)
> 0, поэтому можно записать:
x2
=
,
x2
=
.
Пример
2.
F2(x)
=
является б.б. при x
0, причем
F2(x)
= , а
F2(x)
= .
Следующие две теоремы устанавливают связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями.
Теорема
1.
Если функция F(x)
является б.б при x
a,
то функция
– б.м. при x
a.
Доказательство. Пусть F(x) – б.б. при x x0–0, покажем, что – б.м. при x x0–0. Зафиксируем произвольное > 0 и покажем, что найдется > 0 такое, что для всех x(x0 – , x0) выполняется неравенство: | | < .
По
определению функции б.б. при x
x0–0
для числа K
=
найдется такое
> 0, что x(x0–,
x0)
будет выполняться неравенство: |F(x)|
>
,
откуда
<
для
x(x0
–
,
x0),
т.е.
– б.м. при x
x0
–0.
Теорема
2.
Если (x)
– б.м. при x
a
и (x)
0, то
– б.б. при x
a.
Доказательство. Доказательство аналогично предыдущему.
Теоремы 1 и 2 позволяют получить свойства б.б. функций, аналогичные свойствам б.м. функций.
Свойство 1. Если F1(x), F2(x) – б.б. при x a, то функция F1(x), F2(x) – б.б. при x a.
Свойство 2. Если F1(x), F2(x) – б.б. функции при xa, причем F1(x) > 0 и F2(x) > 0 (т.е. F1(x)=+, F2 (x) = + ), то функция F1(x) + F2(x) – б.б. при x a.
Свойство 3. Если F(x) – б.б. при x a и число C 0, то CF(x) – б.б. при x a.
Замечание. Если F1(x) и F2(x) – б.б. функции при x a, но имеют разные знаки, то F1(x) + F2(x) может быть как б.б., так и б.м. при x a, как иметь предел при x a, так и не иметь его.
52.Основные теоремы о пределах.
Прежде
всего заметим, что не для всякой
функции у = f (х)
существует предел 
f (х).
Так, например, при x —>
π/2 значения
функции у =
tg х (рис.
303) или неограниченно растут (при х < π/2),
или неограниченно убывают
(при х > π/2).
Поэтому нельзя указать никакого числа b, к которому стремились бы значения этой функции.
Другой пример. Пусть
График этой функции представлен на рисунке 304.
Когда значений аргумента х приближаются к 0, оставаясь отрицательными, соответствующие значения функции стремятся к 1. Когда значения аргумента хприближаются к 0, оставаясь положительными, соответствующие значения функции стремятся к —2. В самой же точке х = 0 функция обращается в 0. Очевидно, что указать одно какое-нибудь число, к которому стремились бы все значения у при приближении х к 0, нельзя. Поэтому данная функция не имеет предела при х —> 0.
Говоря в дальнейшем о пределе функции, мы всегда будем предполагать, что этот предел существует.
Предположение о существовании предела f (х) еще не означает, что этот предел совпадает со значением функции f (х) в точке х = а. Для примера рассмотрим функцию, график которой представлен на рисунке 305.
Очевидно,
что предел 
f (х) существует
и равен 1. Но в самой точке х =
0 функция принимает значение, равное 2.
Поэтому в данном случае
f (х) =/= f (0).
Если функция у = f (х) удовлетвoряет условию
f (х) = f (a),
то она называется непрерывной в точке х = а. Если же указанное условие не выполняется, то функция f (х) называется разрывной в точке х = а.'
Все элементарные функции (например, у = хп, у = sin х, у = tg х , у = tg2 х + tg х и т. д.) непрерывны в каждой точке, в которой они определены.
Функция у = f (х) называется непрерывной в интервале [а, b], если она непрерывна в каждой точке этого интервала. Например, функция у = tg x непрерывна в интервале[— π/4 , π/4 ], функции у = sin x и y = cos x непрерывны в любом интервале и т. д.
Приведем без доказательства основные теоремы о пределах функций. Эти теоремы вполне аналогичны тем, которые мы рассматривали (также без доказательства) ранее при изучении пределов числовых последовательностей.
1. Предел константы равен самой этой константе:
с = с.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
[ k • f (х)] = k • f (х).
3. Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) пределов этих функций:
[ f (х) ± g (х)] = f (х) ± g (x).
4. Предел произведения функций равен произведению пределов этих функций:
[ f (х) • g (х)] = f (х) • g (x).
5.
Предел
отношения двух функций равен отношению
пределов этих функций, если только
предел делителя не равен нулю:
53.Сравнение порядков бесконечно малых.
Как известно, сумма, разность и произведение двух б.м.ф. есть функция бесконечно малая. Отношение же двух б.м.ф. может вести себя различным образом: быть конечным числом, быть бесконечно большой функцией, бесконечно малой или вообще не стремиться ни к какому пределу.
Две б.м.ф. сравниваются между собой с помощью их отношения.
Пусть α=α(х) и ß=ß(х) есть б.м.ф. при х→хо, т. е.
и 
1.
Если 
=А 0
(АєR), то α и ß называются бесконечно
малыми одного порядка.
2. Если, =0, то α називатся бесконечно малой более высокого порядка , чем ß.
3. Если =∞, то α называется бесконечно малой более низкого порядка, чем ß.
4. Если не существует, то α и ß называются несравнимыми бесконечно малыми.
Отметим, что таковы же правила сравнения б.м.ф. при х →±∞, х →х0±0.
<< Пример 18.1<
Сравнить порядок функций α=3х2 и ß=14х2 при х→0
Решение: При х→0 это б.м.ф. одного порядка, так как
Говорят, что б.м.ф. а и ß одного порядка стремятся к нулю с примерно одинаковой скоростью
<< Пример 18.2
Являются ли функции α=3х4 и ß=7х б.м.ф. одного порядка при х→0?
Решение: При х→0 функция α есть б.м.ф. более высокого порядка, чем ß, так как
В этом случае б.м.ф. α стремится к нулю быстрее, чем ß.
<< Пример 18.3
Сравнить порядок функций α=tgx и ß=х2 при х→0.
Решение: Так как
то α есть б.м.ф. более низкого порядка, чем ß.
<< Пример 18.4
Можно
ли сравнить функции 
и
ß=х при х→0?
Решение:
Функции 
и
ß=х при х→0 являются несравнимыми б.м.ф.,
так как предел
не существует.