40.Уравнение плоскости, проходящей через данную точку параллельно двум данным (неколлиеарным) векторам.

Составим уравнение плоскости, проходящей через данную точку   параллельно двум неколлинеарным векторам   и  .

Возьмем произвольную точку плоскости  . Так как векторы  ,   и   расположены в параллельных плоскостях, то они компланарны. Используя условие компланарности трех векторов (равенство нулю их смешанного произведения), получим уравнение искомой плоскости в виде

.  Вычислять этот определитель удобнее разложением его по элементам первой строки.

41.Уравнение плоскости ,проходящей через две данные точки параллельно данному вектору

??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

42. Уравнение плоскости ,проходящей через три данные точки.

Во-первых, точки должны быть различными. А во-вторых, они не должны лежать на одной прямой (сразу все три).

Уравнение плоскости, проходящей через три различные точки  , которые не лежат на одной прямой, можно составить по формуле:

Если известны три различные точки, не лежащие на одной прямой, то легко найти два неколлинеарных вектора, параллельных данной плоскости:

Пример 3

Составить уравнение плоскости по точкам  .

Решение: составим уравнение плоскости по трём точкам. Используем формулу:

Вот теперь и аналитически видно, что всё дело свелось к координатам двух векторов. Раскрываем определитель по первому столбцу, находим уравнение плоскости:

Больше ничего упростить нельзя, записываем:

Ответ: 

Проверка напрашивается сама собой – в полученное уравнение плоскости необходимо подставить координаты каждой точки. Если хотя бы одна из трёх точек «не подойдёт», ищите ошибку.

43.Уравнение плоскости в отрезках.

Пусть в трехмерном пространстве задана прямоугольная система координат Oxyz.

В прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве уравнение вида  , где a, b и c – отличные от нуля действительные числа, называется уравнением плоскости в отрезках. Такое название не случайно. Абсолютные величины чисел a, b и c равны длинам отрезков, которые плоскость отсекает на координатных осях Ox, Oy и Oz соответственно, считая от начала координат. Знак чисел a, b и c показывает, в каком направлении (положительном или отрицательном) откладываются отрезки на координатных осях. Действительно, координаты точек   удовлетворяют уравнению плоскости в отрезках:

Посмотрите на рисунок, поясняющий этот момент.

44. Проектирующая плоскость.

????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

45. Канонические и параметрические уравнения прямой на плоскости.

Каноническое уравнение прямой на плоскости

Пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная декартова система координат Oxy. Поставим себе задачу: получить уравнение прямой a, если   - некоторая точка прямой a и   - направляющий вектор прямой a.

Пусть   - плавающая точка прямой a. Тогда вектор   является направляющим вектором прямой a и имеет координаты   (при необходимости смотрите статьюнахождение координат вектора через координаты точек). Очевидно, что множество всех точек   на плоскости определяют прямую, проходящую через точку   и имеющую направляющий вектор   тогда и только тогда, когда векторы   и  коллинеарны.

Запишем необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов   и  :  . Последнее равенство в координатной форме имеет вид  .

Если   и  , то мы можем записать

Полученное уравнение вида   называют каноническим уравнением прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy. Уравнение   также называют уравнением прямой в каноническом виде.

Итак, каноническое уравнение прямой на плоскости вида   задает в прямоугольной системе координат Oxy прямую линию, проходящую через точку   и имеющую направляющий вектор  .

Приведем пример канонического уравнения прямой на плоскости.

К примеру, уравнение   является уравнением прямой в каноническом виде. Прямая, соответствующая этому уравнению, проходит через точку  , а   - ее направляющий вектор. Ниже приведена графическая иллюстрация.

Отметим следующие важные факты:

• если   - направляющий вектор прямой и прямая проходит как через точку  , так и через точку  , то ее каноническое уравнение можно записать как  , так и  ;

• если   - направляющий вектор прямой, то любой из векторов   также является направляющим вектором данной прямой, следовательно, любое из уравнений прямой в каноническом виде   соответствует этой прямой.

параметрические уравнения прямой на плоскости.

Пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная декартова система координат Oxy. Зададим прямую a, указав лежащую на прямой a точку   и направляющий вектор этой прямой . Опишем прямую a с помощью уравнений.

Возьмем произвольную точку плоскости  . Мы можем вычислить координаты вектора   по координатам точек его начала и конца:  . Очевидно, что множество всех точек   задают прямую, проходящую через точку   и имеющую направляющий вектор  , тогда и только тогда, когда векторы   и   коллинеарны.

Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов   и   записывается в виде уравнения  , где   - некоторое действительное число. Полученное уравнение называется векторно-параметрическим уравнением прямой. Векторно-параметрическое уравнение прямой в координатной форме имеет вид  . Уравнения полученной системы   называются параметрическими уравнениями прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy. Смысл такого названия прост: координаты всех точек прямой могут быть вычислены по параметрическим уравнениям прямой на плоскости вида   при переборе всех действительных значений параметра  .

Составление параметрических уравнений прямой на плоскости.

Итак, параметрические уравнения прямой на плоскости вида   определяют в заданной прямоугольной системе координат Oxy прямую линию, проходящую через точку   и имеющую направляющий вектор  . Таким образом, если нам известны координаты некоторой точки прямой и координаты ее направляющего вектора в прямоугольной системе координат на плоскости, то мы можем сразу написать параметрические уравнения этой прямой.