36.Общее уравнение плоскости . Его частные случаи.

Каждую плоскость в пространстве можно представить как линейное уравнение, называемое общим уравнением плоскости

 ,                                           (8) 

где   .               

Коэффициенты    являются координатами нормального вектора плоскости   . Вектор    перпендикулярен плоскости.

Частные случаи.

1.  Если в уравнении (8)   , то оно принимает вид Ax+By+Cz=0.Этому ур-ю удовлетворяет точка О(0;0;0). Следовательно, плоскость проходит через начало координат.

2.  Если С=0, то имеем ур-е: Аx+By+D=0. Нормальный вектор n=(A,B,0) перпендикулярен оси Оz. Следовательно плоскость параллельна оси Оz, если В=0 – параллельна оси Оy, А=0 – параллельна оси Оx.

3. Если С=D=0, то плоскость проходит через О(0;0;0) параллельно оси Оz, т.е. плоскость Аx+By=0 проходит через ось Оz. Аналогично ур-ям Ву+Сz=0 и Ах+Сz=0 отвечают плоскости, порходящие соответственно через ос Ох и Оу.

4. Если А=В=0, то ур-е (8) принимает вид Сz+D=0, т.е. z= -D/C. Плоскость параллельна плоскости Оху. Аналогично ур-ям Ах+D=0 и Ву+D=0 отвечают плоскости, соответственно параллельные плоскостям Оух и Охz.

5. Если А=В=D=0, то ур-е (8) примет вид Сz=0, т.е. z=0. Это ур-е плоскости Оху. Аналогично у=0 – ур-е плоскости Охz, х=0 – ур-е плоскости Оуz.

37. Взаимное расположение плоскостей.

Пусть даны 2 плоскости: А₁x+B₁y+C₁z+D₁=0 ; А₂x+B₂y+C₂z+D₂=0

Угол между 2-мя плоскостями = углу между перпендик-ми к ним векторами. N₁(век)(A₁,B₁,C₁) ; N₂(век)(A₂,B₂,C₂)

Cosα= N₁ ٠N₂ (век) / |N₁| ٠|N₂|

Плоскости || если векторы N₁ и N₂ коллинеарные: А₁/А₂=В₁/В₂=С₁/С₂

Усл-е перпендик-ти 2х плоскостей: N₁ ٠N₂ (век)=0, т.е. : А₁А₂+В₁В₂+С₁С₂=0

Если даны 3 плоскости со своими ур-ми

Сист.: А₁x+B₁y+C₁z+D₁=0

А₂x+B₂y+C₂z+D₂=0 (1)

А₃x+B₃y+C₃z+D₃=0 , то их общие точки определ-ся из сист (1)

В случае когда ┴ к этим плоскостям векторы: N₁(A₁,B₁,C₁) ; N₂(A₂,B₂,C₂) ; N₃(A₃,B₃,C₃)

N₁N₂N₃ (век) A₁ B₁ C₁

A₂ B₂ C₂ ≠ 0

A₃ B₃ C₃

Если N₁N₂N₃ (век) не компланарны, то плоскости имеют единственную общую точку.

38. Расстояние от точки до плоскости.

Расстояние от точки до плоскости — равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.

Если задано уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0, то расстояние от точки M₀(x₀,y₀,z₀) до плоскости можно найти, используя следующую формулу.

d = |A·x₀ + B·y₀ + C·z₀ + D| / (A² + B² + C²)^1/2

Пример. Найти расстояние между плоскостью 2x+ 4y - 4z - 6 = 0 и точкой M(0, 3, 6).

Решение. Подставим в формулу коэффициенты плоскости и координаты точки

d  =	|2·0 + 4·3 + (-4)·6 - 6|	=	|0 + 12 - 24 - 6|	=	|- 18|	= 3
	(4 + 16 + 16)1/2		(36)1/2		6

Ответ: расстояние от точки до плоскости равно 3.

39.Уравнение плоскости ,проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

Пусть в пространстве Охуz плоскость Q задана точкой M₀ (x₀, y₀, z₀) и вектором = (А,В,С), ┴ этой плоскости. Выведем ур-е плоскости Q. Возьмем на ней произвольную точку М(х,у,z) и составим вектор М₀М = (x - x₀, y - y_0, z - z₀). При любом расположении точки М на плоскости Q векторы и М₀М взаимно ┴, поэтому их скалярное произведение равно нулю: ٠ М₀М=0, т.е.

А(x - x₀) + В(y - y₀) + С(z - z₀) = 0 (1)

Координаты любой точки плоскости Q удовлетворяют ур-ю (1), координаты точек, не лежащие на плоскости Q, этому ур-ю не удовлетворяют ( для них ٠ М₀М≠0).

Ур-е (1) наз-ся уравнением плоскости, проходящей через данную точку M₀ (x₀, y₀, z₀) ┴ вектору = (А,В,С). Оно первой степени относительно текущих координат х, у, z. Вектор = (А,В,С) наз-ся нормальным вектором плоскости.

Япридавая коэффициент А,В,С ур-я (1) различные значения, можно получить ур-я любой плоскости, проходящей через точку M_0. Совокупность плоскостей, проходящих через данную точку, наз-ся связкой плоскостей, а ур-е (1)- уравнением связки плоскостей.