28. Пересечение двух прямых на плоскости.
Если две прямые l1 и l2 лежат на плоскости, то возможны три различных случая их взаимного расположения: 1)пересекаются (т.е. имеют одну общую точку); 2) параллельны и не совпадают; 3) совпадают.
Уравнения в общем виде:
(1)
Если прямые l1 и l2 пересекаются в некоторой точке М(х,у), то координаты этой точки должны удовлетворять обоим уравнениям системы (1).
Следовательно, чтобы найти координаты точки пересечения прямых l1 и l2, надо решить систему уравнений 1) если система имеет единственное решение, то прямые l1 и l2 пересекаются; 2) если система не имеет решения, то прямые l1 и l2 параллельны; 3) если система имеет множество решений, то прямые l1 и l2 совпадают.
Условием совпадения двух прямых является пропорциональность соответствующих коэффициентов их уравнений.
29.Уравнение окружности
|
30.Эллипс и его св-ва:
31. Парабола и ее свойства.
32. Гипербола и ее св-ва.
33. Общие уравнения прямой в пространстве. Прямую в пространстве можно задать как линию пересечения двух непараллельных плоскостей. Рассмотрим сист ур-й:
|
|
|
(1) Каждое из ур-й этой сист. Определяет плоскость. Если плоскости не параллельны ( координаты векторов n1=( A1;B1;C1) и n2= (A2;B2;C2) не пропорциональны),то сист. (1) определяет прямую L как геометрическое место точек пространства, координаты которых удовлетворяют каждому из ур-й сист. Ур-я (1) наз-ют общими ур-ми прямой.
От общих ур-й (1) можно перейти к каноническим ур-ям. Координаты точки М0 на прямой L получаем из сист ур-ий (1), придав одной из координат произвольное значение (например, z=0). Так как прямая L перпендикулярна векторам n1 и n2 , то за направляющий вектор S прямой L можно принять векторное произведение n1×n2
34. Взаимное расположение двух прямых и пространстве характеризуется следующими возможностями.
Прямые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек — параллельные прямые.
Прямые лежат и одной плоскости и имеют одну общую точку — прямые пересекаются.
В пространстве две прямые могут быть расположены еще так, что не лежат ни в одной плоскости. Такие прямые называются скрещивающимися (не пересекаются и не параллельны).
две прямые могут совпадать, то есть, иметь бесконечно много общих точек
Теорема. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая пересекает эту плоскость и точке, которая не лежит на первой прямой, то эти прямые скрещиваются.
Теорема. Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит только одна плоскость, параллельная другой прямой.
На
рис. 26 прямые a и b скрещиваются. Черен
прямую а проведена плоскость 
||
b (в плоскости 
указана
прямая a1 ||
b).
Примеры скрещивающихся прямых: трамвайный рельс и троллейбусный провод по пересекающейся улице, нeпересекающиеся и непараллельные ребра пирамид или призм и пр. Все три случая можно видеть еще на примере прямых, по которым встречаются стены и потолок или стены и пол комнаты.
35.Угол между прямой и плоскостью. Условия перпендикулярности и параллельности прямой и плоскости.
Прямая и плоскость пересекаются, если они имеют одну единственную общую точку, которую называют точкой пересечения прямой и плоскости.
При этом прямая, которая пересекает плоскость, может быть перпендикулярна к этой плоскости.
Пусть плоскость Q задана ур-ем Ах+Ву+С+D=0, а прямая L ур-мя: x-x0=y-y0=z-z0
m n p
Углом между прямой и плоскостью наз-ся любой из 2х смежных углов, образованных прямой и ее проекций на плоскость. Обозначим через α угол между плоскостью Q и прямой L, а через β- угол между векторами n=(A,B,C) b S(вект)=(m,n,p) Тогда соsβ= n٠S(век-ра)
|n|٠|S| (век-ра).
Найдем синус угла α, считая α≤π/2 ; sinα=sin(π/2-β)=cosβ И т.к. sinα≥0, получаем
Sinα= |Am+Bn+Cp|
A2+B2+C2(под корнем) ٠m2+n2+p2 (под корнем)
Если прямая L параллельна плоскости Q, то векторы n и S перпендикулярны, а потому S٠n(векторы)=0, т.е. Am+Bn+Cp=0 явл-ся условием параллельности прямой и плоскости.
Если прямая L перпендикулярна плоскости Q, то векторы n и S параллельны. Поэтому равенства
А=В=С явл-ся условиями перпендикулярности прямой и плоскости.
m n p