24. Общее уравнение прямой на плоскости.

Общее уравнение 

Ax + By + C (  > 0).

     Вектор   = (А; В) - нормальный вектор прямой.

     В векторном виде:   + С = 0, где   - радиус-вектор произвольной точки на прямой (рис. 4.11).

     Частные случаи:

     1) By + C = 0 - прямая параллельна оси Ox;

     2) Ax + C = 0 - прямая параллельна оси Oy;

     3) Ax + By = 0 - прямая проходит через начало координат;

     4) y = 0 - ось Ox;

     5) x = 0 - ось Oy.

     Уравнение прямой в отрезках 

где a, b - величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат.

     Нормальное уравнение прямой (рис. 4.11) 

где   - угол, образуемый нормально к прямой и осью Ox; p - расстояние от начала координат до прямой.

     Приведение общего уравнения прямой к нормальному виду:

Здесь   - нормируемый множитель прямой; знак выбирается противоположным знаку C, если   и произвольно, если C = 0.

25. Уравнение прямой в пространстве, проходящей ч/з 2 заданные точки.

Пусть прямая Lпроходит через точки М1(х1,у1,z1) и М2(х2,у2,z2). В качестве направляющего вектора S можно взять вектор М1М2 = (х2-х1, у2-у1, z2-z1), т.е. S=M1M2(векторы).Следовательно m=x2-x1, n=y2-y1, p=z2-z1. Поскольку прямая проходит через точку M1(x1,y1,z1) то согласно ур-ям

x-x₀=y-y₀=z-z₀ ур-я прямой L имеют вид:

m n p

l m n

S{x₂-x₁,y₂-y₁,z₂-z₁}

-уравнение прямой, проходящей через 2 точки

26. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой на плоскости.

где p - длина перпендикуляра (нормали), опущенного из начала координат на прямую, а   - угол наклона этого перпендикуляра с положительным направлением к оси Ox. Нормальное ур-е хар-ся тем, что сумма квадратов его коэффициентов при х и у равна 1, а свободный член отрицательный. Чтобы привести общее уравнение прямой Ax + By + C = 0 к нормальному виду, нужно все члены его умножить на нормирующий множитель  , взятый со знаком, противоположным знаку свободного члена C. (если С=0 то можно выбрать любой знак)

2.Расстояние d точки М₀(х_0,у₀) до прямой x cosβ + ysinβ-p=0 вычисляется по формуле  d=|x₀cosβ+ y₀sinβ-p|

Расстояние точки A(x₁, y₁) до прямой Ax + By + C = 0 есть длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Она определяется по формуле x cosβ + ysinβ-p=0

Расстояние от точки до прямой есть всегда величина положительная. Кроме расстояния от точки до прямой, рассматривается еще так называемое отклонение точки от прямой.

Отклонение   данной точки от данной прямой есть расстояние от этой точки до прямой, которому приписывается знак плюс, если точка и начало координат находятся по разные стороны от прямой, и знак минус, если точка и начало координат находятся по одну сторону от прямой.

Расстояние от точки до прямой есть абсолютная величина отклонения этой точки от прямой.

27. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых на плоскости.

Пусть прямые L₁ и L₂ заданы ур-ми

x-x₁=y-y₁=z-z₁ x-x₂=y-y₂=z-z₂

m₁ n₁ p₁ и m₂ n₂ p₂

Под углом между этими прямыми понимают угол между направляющими векторами S₁=(m₁n₁p₁) и S₂= ( m₂n₂p₂). Поэтому, по известной формуле для косинуса угла между векторами, получаем cosα=S₁٠S₂ (векторы) или cosα= m₁m₂+ n₁n₂+p₁p₂

|S₁|٠|S₂| m₁²+n₁²+p₁²(кор)٠m₂²+n₂²+p₂²(кор) (1)

Для нахождения острого угла между прямыми L₁ и L₂ числитель правой части формулы (1) следует взять по модулю.

Если 2 прямые перпендикулярны, то в этом и только в этом случае имеем cosα=0. Следовательно, числитель дроби (1) равен нулю, т.е. m₁m₂+ n₁n₂+p₁p₂=0

Если 2 прямые параллельны, то параллельны их направляющие векторы S₁٠S₂. Следовательно, координаты этих векторов пропорциональны, т.е. m₁ = n₁ = p₁

m₂ = n₂ = p₂