1вопрос: понятие матрицы. Основные определения.

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой длины(или n столбцов одинаковой длины). Матрица записывается в виде

Или сокращенно, А=(aij),где i=1….m---номер строки, j=1…..n—номер столбца.

Матрицу А называют матрицей размера m*n и пишут Аm*n. Числа aij, составляющие матрицу, называются её элементами. Элементы, стоящие на диагонали, идущей из верхнего угла , образуют главную диагональ.

Общим элементом матрицы называется величина aij, стоящая на пересечении i-ой строки и j-столбца.

Матрицы равны между собой, если равны все соответствующие элементы этих матриц, те А=В, если aij=bij,где i=1…m,j=1…n

Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной. Квадратную матрицу размера n*n называют матрицей n-ого порядка.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали , равны нулю, называется диагональной.

Диагональная матрица, у которой, каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной. Обозначается буквой Е.

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой. Обозначается буквой О.4221

Матрица, содержащая один столбец или строку, называется вектором .

Если в матрице а взаимно переставить строки и столбца, то получается матрица называемая транспонированной к данной.

2.Действия над матрицами ( Свойства сложения и умножения матрицы на число ).

Две матрицы   и   одинакового размера m на n называются равными, если   , i = 1,2,…,m, j=1,2,…,n.

Если матрицы A и B равны, то будем писать A=B.

Суммой двух матриц A и B размера m на n называется матрица C размера m на n, элементы которой определяются равенством

Сумму матриц A и B будем обозначать C=A+B.

Матрица   называется противоположной к матрице   .

Операция сложения матриц обладает следующими свойствами: для любых матриц   и нулевой матрицы  .

1) A+B=B+A; (перестановочность или коммутативность операции сложения

2) (A+B)+C = A+(B+C); (ассоциативность или сочетательное свойство)

3) A+O = O+A =A;

4) A+(-A)=(-A)+A=O.

Перечисленные выше свойства непосредственно вытекают из определения и доказываются по единой схеме.

Разностью матриц   и   называется матрица A+(-B).

Разность матриц A и B будем обозначать A-B.

Произведением матрицы   на число   называется матрица  , элементы которой определены равенством

Произведение матрицы A на число   будем обозначать   .

Операция умножения матрицы на число обладает следующими свойствами:

1)   ;

2)   

3)   (Распределительное свойство относительно сложения матриц);

4)   (Распределительное свойство относительно сложения чисел);

5) -A=(-1)A.

3.Умножение сцепленных матриц. Умножать друг на друга можно только те матрицы, для которых число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго сомножителя. Результатом умножения является матрица, у которой число строк равно числу строк первого сомножителя, а число столбцов совпадает с числом столбцов второго сомножителя.

1. В общем случае  . Если   то матрицы А и В называются перестановочными по отношению друг к другу.

2) 

3) 

4) При умножении любой квадратной матрицы на единичную первоначальная матрица не меняется  4.Обратная матрица. Для того, чтобы матрица А имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля.

Обратная матрица матрице А, обозначается через А^-1, так что В = А^-1 и вычисляется по формуле

,                                               (1)

где А _{i j} - алгебраические дополнения элементов a _{i j} матрицы A..

Вычисление A^-1 по формуле (1) для матриц высокого порядка очень трудоемко, поэтому на практике бывает удобно находить A^-1 с помощью метода элементарных преобразований (ЭП). Любую неособенную матрицу А путем ЭП только столбцов (или только строк) можно привести к единичной матрице Е. Если совершенные над матрицей А ЭП в том же порядке применить к единичной матрице Е, то в результате получится обратная матрица. Удобно совершать ЭП над матрицами А и Е одновременно, записывая обе матрицы рядом через черту.

5.Определитель квадратной матрицы. Вычисление определителей 2 и 3 порядка.

Определитель – это некоторое число поставленное в соответствие квадратной матрице  .

Для неквадратных матриц понятие определителя не вводится.

Для обозначения определителя квадратной матрицы A будем пользоваться обозначением   или   .

Определитель матрицы А также называют её детерминантом. Правило вычисления детерминанта для матрицы порядкаN является довольно сложным для восприятия и применения. Однако известны методы, позволяющие реализовать вычисление определителей высоких порядков на основе определителей низших порядков. Один и методов основан на свойстве разложения определителя по элементам некоторого ряда. При этом заметим, что определители невыскоих порядков(1,2,3)желательно уметь вычислять согласно определению.(диагональ и 2равнобедренных треугольника)