6. Принципы моделирования экономических процессов и их реализация в агрегированной и многоотраслевой макроэкономических моделях.

Требования к математическим моделям производственно-эконо­мических систем выглядят следующим образом:

1. Необходимость системного подхода к изучению и моделированию. В экономической системе протекают разнообразные процессы (технологические, экономические, демографические, социальные), которые тесно взаимосвязаны и поэтому должны быть описаны в совокупности. Однако часто приходится выделять для изучения фрагменты системы: в этом случае описание части ее должно опи­раться на описание ее как целого. Тогда можно ясно оценить потери, возникающие при изоляции части, для подробного изучения.

2. Важность принципа обратной связи. Действия людей, влияю­щие на течение процессов, зависят от состояния самих процессов. Следовательно, производственные отношения определяют структуру обратных связей, действующих в социально-экономической системе. Обратные связи, называющиеся экономическими механизмами, существенно влияют на процессы системы.

3. Влияние государства на параметры экономических механизмов регулирования в целях приспособления их в своих интересах к изме­нениям в системе. Описание процессов и экономических механизмов их регулирования образует математическую модель управляемой системы.

4. Социально-экономическая система представляет собой сово­купность многочисленных подсистем, управляемых многочисленными экономическими субъектами. Наблюдаются же агрегированные экономические показатели, которые являются результатами деятель­ности больших групп объектов. Поэтому математическое описание экономики должно содер­жать макропоказатели, которые выступают результатом агрегирова­ния (усреднения) исходного микроописания, т. е. совокупности моделей множества процессов, поведения людей в них участвующих, и взаимодействия между ними. Тогда зависимости между макропоказателями могут быть ясно интерпретированы.

5. Необходимость сравнения результатов математического ана­лиза моделей социально-экономических систем с качественными особенностями развития изучаемого их типа.

6. Трудовые ресурсы описываются на основе численности рабочих различных специальностей или количества человеко-часов, отраба­тываемых ими в течение некоторого периода времени.Часто при­меняется агрегированный показатель — общее количество трудовых ресурсов.

7. Моделируемая экономическая система представляется в виде совокупности некоторого числа «элементарных» экономических еди­ниц, каждая из которых выполняет определенные функции, связан­ные с производством, хранением, распределением или потреблением материальных благ.

8. Экономико-математическая модель производственно-технологи­ческого уровня экономической системы включает описание 1) потоков материальных благ и трудовых ресурсов между элементарными экономическими единицами; 2) закономерностей преобразования ресурсов и продуктов в этих элементарных единицах.

9. Потоки материальных благ между экономическими единицами должны удовлетворять физическим законам сохранения вещества, выражающимся в виде балансовых соотношений, которые формиру­ются так: суммарное потребление любого продукта в системе не превышает суммы его исходных запасов, производства в системе и поставок извне.

10. Построение производственных функций. В их качестве используются функции выпуска, имеющие вид: y=f(x,a); где y=(y1…ym) – вектор выпуска продукции, x=(x1…xn) – вектор используемых производственных ресурсов, a=(a1…ap) – вектор параметров модели.

Можно выделить два основных направления исследований в области построения ПФ: 1)построение ПФ на основе структурных моделей – изучаемую «элементарную» единицу разбивают на некоторое число «более элементарных» производственных единиц, связанных балансовыми соотношениями. 2)построение ПФ на основе функциональных моделей – вместо описания сложной внутренней стуктуры изучаемого объекта, следует построить относительно простую функцию, связывающую реакцию объекта на внешние воздействия с величинами этих воздействий.

Агрегированные модели народного хозяйства предназначены для изучения основных тенденций развития экономики. В них исследуются общие закономерности процесса расширенного воспроизводства, роста национального дохо­да, соотношения фондов потребления и накопления, фондовооружен­ности и производительности труда.

Рассмотрим простейшую однопродуктовую модель. В ней продукция экономики считается состоящей из одного продукта. Все предприятия народного хозяйства объединяют­ся в единственную производственную единицу. В качестве выхода экономики рассматривается конечный продукт, т. е. часть валового материального продукта, которая идет на потребление, накопление и восстановление изношенных за год основных производ­ственных фондов (амортизационные отчисления).

Количество конечного продукта в году t обозначается через Yt. Пусть It— валовые капиталовложения в году t (накопление плюс амортизационные отчисления), Сt — непроизводственное по­требление в году t. Тогда, считая внешнюю торговлю сбалансированной (импорт однородного продукта равен экспорту), можно записать основное балансовое соотношение модели в виде

It + Ct=Yt. (1.2.1)

Пусть Аt — амортизационные отчисления в году t. Величину

Jt = It-At, (1.2.2)

представляющую собой средства, идущие на расширение производ­ства, называют чистыми капиталовложениями, а ве­личина

Zt = Jt + Ct (1.2.3)

является национальных доходом.

Будем считать, что чистые капиталовложения приводят к росту основных фондов (при пренебрежении оборотными), величину кото­рых в начале года обозначим Кt. Тогда динамика основных фондов описывается соотношением

Kt+1 = Kt + Jt = Kt + It-At,.

Пусть Аt совпадают с выбытием основных фондов, которое про­порционально их количеству с некоторым положительным коэф­фициентом µ; тогда

Kt+1 = Кt +It- µKt. (1.2.4)

Объем выпуска конечного продукта в году t свяжем с помощью производственной функции выпуска с количеством основных фондов Кt и числом трудящихся Lt, считая производственную функцию явно не зависящей от времени:

Yt = f(Kt, Lt). (1-2.5)

В простой модели естественно предположить, что трудящиеся составляют постоянную долю в населении страны, которое растет пропорционально уже имеющемуся:

Lt+1 = Lt+ ƞLt (1-2.6)

где ƞ — некоторая постоянная.

Bведем величину s = I/Y — долю валовых капитало­вложений в конечном продукте. Очевидно, для любого года она удовлетворяет соотношению

0≤st≤l. (1-2.7)

Зная величину st, можно определить капиталовложения и потреб­ление в году t:

It = stYt (1.2.8)

Ct= (l-st)Yt. (1.2.9)

Объединяя соотношения, полученные выше, получаем агрегированную модель народного хозяйства:

Yt = f(Kt, Lt),

It = stYt, Ct= (l-st) Yt,

Kt+1 = (l—µ) Kt + It, Lt+1 = (l+ƞ) Lt, (1.2.10)

0≤st≤l.

В начальном году t = 0 заданы численность трудящихся L0 и исходный объем основных фондов Ко, а также производственная функция f(Kt, Lt) и параметры ƞ и µ. В системе (1.2.10) остается лишь одна свободная переменная — доля капиталовложений в конеч­ном продукте st, которая используется в качестве управляющего воздействия.

Статические многоотраслевые модели предназначены для раз­работки народнохозяйственных планов выпуска и потребления продукции и основываются на соотношениях межотраслевого ба­ланса:

xi = Ʃ(по j=1…n)xij+yi, i=1…n (1.3.1)

Здесь хi — суммарный (валовый) выпуск i-й отрасли в стоимост­ном выражении; уi — конечный продукт i-й отрасли, включающий накопление и возмещение выбытия основных фондов, прирост запа­сов, личное потребление населения, расходы продукции на содержа­ние государственного аппарата, оборону, просвещение, здраво­охранение и т. д.; хij — текущие производственные затраты продук­ции i-й отрасли в j-й отрасли за год; n — число отраслей, составляю­щих производственную сферу народного хозяйства.

Помимо балансовых соотношений в модели должны быть описаны производственные функции «эле­ментарных» производственных единиц (в данном случае отраслей). Эти функции имеют вид

Xij=aij*xj, i = l..n (1.3.2)

где aij — так называемые коэффициенты прямых затрат, показываю­щие, какое количество продукта i-й отрасли необходимо истратить на текущее производственное потребление в j-й отрасли при выпуске ею единицы продукции.

При использовании функций (1.3.2) об отраслях народного хозяйства делаются следующие предположения:

1) в каждой отрасли выпускается единственный продукт;

2) в каждой отрасли имеется единственная технология производ­ства;

3) нормы производственных затрат не зависят от объема вы­пускаемой продукции;

4) не допускается замещение одного сырья другим.

В действительности эти соотношения обычно не выполняются, однако соотношения (1.3.2) являются достаточно хорошим прибли­жением. Значения коэффициентов аij меняются мало в течение довольно продолжительных промежутков времени, если не про­исходит коренное изменение технологии производства.

Подставляя (1.3.2) в баланс продукции (1.3.1), получаем

xi = Ʃ(по j=1…n)aij*xj+yi, i=1…n

Это соотношение удобно записывать в матричной форме:

х = Ах + у, (1.3.3)

где x=(x1…xn), у = (у1…yn), А — матрица коэффициентов aij(i,j = l,....n). Соотношение (1.3.3) является основным в меж­отраслевых моделях. Матрица А называется матрицей прямых з а т р а т.

Из соотношения (1.3.3) следует

х=(Е-А)^-1у = Ву, (1.3.4)

где Е — единичная матрица, (Е — А)^-1— матрица, обратная мат­рице Е —А, Таким образом, баланс продукции на основе коэффициен­тов прямых затрат дает возможность по конечному продукту сразу определить соответствующие валовые выпуски отраслей. В этом за­ложена основная идея использования межотраслевых моделей для планирования производства.

Коэффициенты прямых затрат обладают следующими свойствами. Во-первых, они неотрицательны:

aij≥0, i, j,= l…n, (1.3.5)

что сразу следует из неотрицательности xij и положительности валовых выпусков отраслей хj. Во-вторых,

Ʃ(по i=1…n)aij<1, j=1…n (1.3.6)

Действительно, баланс текущих материальных затрат j-й отрасли имеет вид

Xj =Ʃ(по i=1…n)xij+vj, j=1…n,

где vj — условно чистая продукция j-й отрасли, состоящая из зара­ботной платы, амортизационных отчислений и прибыли. Из поло­жительности vj следует, что

xj>Ʃ (по i=1…n) xij (1.3.7)

Можно сказать, что из (1.3.5) и (1.3.6) следует вывод о существо­вании матрицы В=(Е —А)^-1Таким образом, для любого неотрицательного вектора конечного продукта у существует неотри­цательный вектор валовых выпусков х, удовлетворяющий соотноше­нию (1.3.3). В этом случае матрицу прямых затрат Аназывают продуктивной.

Матрица В называется матрицей полных затрат: ее коэф­фициенты bij показывают, каким должен быть валовой выпуск i-й отрасли для того, чтобы обеспечить выпуск единицы конечного продукта j-й отрасли.