6. Свойства предела функции.

Критерий Коши. Существование предела функции. Теорема.

Существует предел Lim F(x) это равносильно тогда и только тогда E>0 существет δ=δ(E>0) такой что для всех x’,x’’ 0<|x’-a|<δ 0<|x’’-a|<δ => f(x’) – f(x’’)<E

8. Свойства предела функции 1) Арифметические св-ва пределов Lim(f(x)+-g(x))=Lim f(x)+-Limg(x)

2) Если существует Limf(x) при x->a то функция ограничен в некоторогой окрестности Ur(a) точки А это означает что существует число b>0 и существует Uб(a) такие что

|f(x)|<=b Uб(a) =0<|x-a|<б 3) Если существует Lim f(x)= b b!=0 то существует Uб(а)окрестность такая что F(x) имеет тотже знак в этой окрестности что и число b.

9.Переход к пределу в неравенствах.

Теорема. Если в некоторой окрестности Uб(а) f(x)=<g(x) для всех Х из этой окрестности и существует предел Lim f(x) = A и существует Lim g(x)=B то А<=B

Т.е Lim f(x) <= Lim g(x) при x->a. Замечание Если F(x) < G(x) строго, то все равно LimF(x) <= Lim g(x)

Теорема о трех функциях. Если в некоторой окрестности Uб(а) а) F(x)<=G(x)<=H(x) и существует Б) Lim f(x)=Lim H(x)=A то существует Lim g(x) = A

Теорема. Пусть существует пределы Lim f(x) = B при Х->a и предел Lim F(y) при x->b тогда для следующей функции F(f(x)) существует предел Lim F(f(x)

10. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Определение: Функция α(x) называется бесконечно малой при х->а если существует предел Lim α(x)=0 и обозначают α(х)->0 при x->a бесконечно малая.

Бесконечно большие функции. Функция при х->a Lim β(x)=∞ это означает для любого А>0 существует окрестность Uб(А) такая что для всех 0<|x-a|<дельта

Выполняется f(x)>A. Примечание (б/б) это также Lim β(x)=+-∞

10. Свойства бесконечно малых функций.

Теорема Пусть Альфа(x) и Бета(х) бесконечно малые при х->a тогда 1)Альфа(ч)+-Бета(х) – бесконечно малые при х->a сумма двух бесконечно малых есть бесконечно малая. 2) Произведение бесконечно малой на ограниченную есть бесконечно малая т.е Альфа(х)->0 х->a Альфа(х)<М х->a => альфа(х)*Бета(х)->0

3)Если существует предел Lim β(x) то и частное а(х)/ β(х) бесконечно малая при х->a.

Доказательство пункта 1. 1)Альфа(х) бесконесно малая при х->a ограниченна для любого Е/2>0 существует Дельта1=дельта1(Е)>0 такое что для всех 0<|x-a|<Дельта

• Альфа(х)<E/2 β(x) бесконечно малая при х->a озн для Е/2 существует Дельта2=Дельта2(Е)>0 такие что Х: 0<|x-a|<Дельта2 => β(x)<E/2

Тогда для суммы |a(x)+ β(x)|<=|a(x)|+ |β(x)| взяв Дельта=Min(Дельта1,Дельта2) получим что для Е>0 существует Дельта=дельта(Е)=Min(Дельта1,Дельта2) такое что для всех Х: 0<|x-a|<Дельта => что |a(x)+ β(x)|<=|a(x)+|b(x)|<E/2+E/2=E это означает что а(х) + β(х) бесконечно малая при х->a. Это верно для суммы любых бесконечно малых остальные аналогично.

11.Основная теорема о пределах.

Теорема. Для того чтобы существовал предел Lim f(x) =A (1) необходимо и достаточно чтобы в некоторой окрестности точки А имело место f(x)=A+a(x) (2) где a(x) бесконечно малая при x->a.

Доказательство. 1) Необходимость Пусть существует Lim f(x)=A означает по определению для любого E>0 существует Дельта=Дельта(Е)>0 такое что (х: 0<|x-a|<дельта)

• |f(x)-A|<E то положив а(х) =f(x) –А что значит а(х) бесконечно малая при х->a

2)Достаточность. Пусть f(x)=A+aльфа(x) где альфа(х) бесконечно малая при х->a тогда для любого Е>0 существует Дельта=Дельта(Е)>0 такое что для всех

Х: 0<|x-a|<дельта следует что |a(x)|<E => |f(x)-A|<E то определенно существует Lim f(x)=A при х->a.