Арифметические операции с конечными десятичными дробями

Сложение и вычитание.

Десятичные дроби пишут друг под другом так, чтобы в одном столбце стояли разряды с одинако-вым значением. Затем складывают или вычитают как натуральные числа и в завершение ставят за-пятую между разрядами единиц и десятых долей. Умножение

Сначала десятичные дроби умножаются как нату-ральные числа. В результате запятой отделяется столько десятичных разрядов, сколько имеют после запятой оба множителя.

Деление

Деление

. Если делитель — натуральное число, то посту-пают как при делении натуральных чисел, однако после деления единиц делимого ставят запятую. Если делитель — конечная десятичная дробь, то сначала умножают делимое и делитель на 10, 100, 1000, ..., смотря по тому, имеет ли делитель 1, 2, 3, ... десятичных знаков. Таким образом делитель делают натуральным числом.

Двойные дроби

В области деление натуральных чисел можно понимать как деление дробных чисел. Обратно, каждое дробное число можно записать как частное натуральных чисел.

Преобразование форм представления дробных чисел

Дроби, знаменатели которых суть степени десяти, и простые дроби, которые можно преобразовать сок-ращением или удлинением в такие дроби, записыва-ются как конечные десятичные дроби. Верно и обратное.

3 /5=6/10=0,6 0,375 = 375 /1000= 11 / 16 |

Каждая простая дробь, которую нельзя преобразовать в дробь с десятичным знамена-телем, преобразуется в периодическую десятич-ную дробь. Для этого применяется способ деления «столбиком»,

_и 5 :11 = 0,4545 ... = 0,(45)

60

50

60

Справедливость этого способа следует из того, что последовательность частичных результатов деления 0; 0,4; 0,45; 0,454; 0,4545; ... монотонно возрастает и ограничена сверху (например, числом 0,5) и из вычисления ее предела. Обратно, каждую перио-дическую десятичную дробь можно превратить в простую дробь. Периодическую десятичную дробь 0,(3) можно записать как сумму геометрической

прогрессии а + аq¹ + аq²+aq³+... 0,(3) = 0,3 + 0,03 + +0,003 + где а = 0,3 и q = 0,1. Для n-й частичной суммы S_n получается

S_n= a (1-q_n)/(1-q)=0,3 *(1- 0.1ⁿ)/( 1- 0,1)/

Так как lim 1/10ⁿ=0, то 0,3 (1/1-0,1)= 0,3/0,9=1/3

1,381 = 1,3 + (0,081 + 0,00081 + 0,0000081 + ...)

Используя сходимость возникающих последовательностей частичных сумм, можно упростить преобразование периодических десятич-ных дробей.

Если при вычислении возникают и простые и десятичные дроби, то необхо­димо выбрать какую-либо одну форму представления дробных чисел. В случае появления при выполнении вычислений периодических десятичных дробей, следует ограни-чить количество знаков числом, необходимым для заданной точности вычислений.

Непериодические бесконечные десятичные дроби нельзя точно превратить в простые дроби.

Рациональные числа

О₂₄: Дробные числа вместе с противоположными им числами называются рациональными числами. Множество рациональных чисел обозначается буквой Q. Верно, что Q ₊ включено в Q

Положительные и отрицательные чис '

Числа, противоположные дробным числам (кроме нуля), называются отрицательными (рацио-нальными) числами. Они лежат на числовой прямой левее нуля и имеют знак «-»(минус).

Дробные числа (кроме нуля), противоположные отрицательным числам, называются положи-тельными (рациональными) числами.

Положительные (рациональные) числа вместе с (рациональным) числом нуль называются также неотрицательными (рациональными) числами.

В выражениях со знаками операций рациональные числа со знаками 'заключаются в скобки :

а) -3 + (-0,7);

б)+3-(1/3); . Знак «+» (плюс) может опускаться.

Целые числа

О₂₄: Натуральные числа вместе с противо-положными им числам называются целыми и обозначается через Z.

Из двух различных рациональных чисел меньшее лежит на числовой прямой левее большего.

Сложение рациональных чисел

Слагаемые имеют	одинаковые знаки	различные знаки и
		равные модули	различные модули
Знак суммы равен	знаку слагаемых	—	Знаку слагаемого с большим модулем
Модуль суммы равен	сумме модулей	0	разности: больший модуль минус мень­ший модуль

Умножение рациональных чисел

Сомножители имеют	одинаковые знаки	различные знаки
Знак произведения	+	-
Модуль произведения	равен произведению модулей	равен произведению моду­лей
Примеры	0,4 • 9 =3,6	25 • (-0,2) = -5

Вычитание рациональных чисел

В области О вычитание сводится к сложению. Так как в О сложение выполнимо без ограничений, то это также верно и для вычитания.

О₂₅: Вычитание рационального числа — это сложение этого числа с противоположным ему.

а - в = а + (-в); 3 - (-7) = 3 + 7 = 10

Деление рациональных чисел

Делимое и делитель имеют	одинаковые знаки	различные знаки
Знак частного	+	-
Модуль частного	равен частному модулей	равен частному модулей

Представление рациональных чисел

Каждое рациональное число г можно представить в форме r=m/n , т.е. m из Z , п из N, n равен 0.

Возможность такой формы представления следует из того факта, что множе­ство рациональных чисел состоит из множества дробных чисел и множества противоположных им чисел.

Для неотрицательных рациональных чисел (дроб-ных чисел) эта форма представления получается из определения дробных чисел.

Для отрицательных рациональных чисел эта форма представления получается из определения деления рациональных чисел, например:

-9/7 = (-9) /7 =-(9:7)

Из возможности превращения дробных чисел в конечные или бесконечные периодические деся-тичные дроби получается возможность представ-ления иррациональных чисел равным образом в виде конечных или бесконечных периодических десятичных дробей, например: - 3/11=-0,27.

Каждое рациональное число можно однозначно связать с точкой оси. Упорядочению неотрицатель-ных рациональных чисел соответствует упорядо-чение дробных чисел Упорядочение отрицательных рациональных чисел получают или отражением дробных чисел относительно нуля

Действительные числа R

О₂₅: Множество действительных чисел равно множеству всех конечных или бесконечных отрицательных или неотрицательных деся-тичных дробей за исключением чисел, имею-щих девять в периоде.

Замечание: Так как 0,(9) = 1, то десятичные дроби, имеющие девять в пери­оде, исключаются, чтобы достичь однозначности в представлении действи­тельных чисел десятичными дробями.

Множество действительных чисел обозна-чается символом R

Иррациональные числа I

Множество иррациональных чисел равно множеству бесконечных непериодических десятичных дробей.

π = 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502;

б) е = 2,718 281 828 459 045...;

Порядок действительных чисел

Исходя из представления положительных действительных чисел десятич­ными дробями

а = а₀, , а₁ а₂ а₃... или в = в₀, в₁ в₂ в₃.. --. определяется их поря­док.

О₂₆ : Положительное действительное число а считается меньше положительного действительного числа в (обозна.ч: а < в), если для наименьшего натурального числа к, для которого а_к не равно в_к.

Порядок произвольных действительных чисел устанавливается следующим образом: Из двух отри-цательных действительных чисел меньше то, которое имеет на больший модуль.

Каждое отрицательное действительное число меньше нуля и меньше положительного действи-тельного числа. Каждое положительное действи-тельное число больше нуля.

Вычислительные операции с иррациональными числами Вычисления с иррациональными числами сводятся к вычислениям с рацииональными приб-лиженными значениями, причем может быть достигнута любая требуемая точность.

Вычисление чисел Л и л с точностью до пяти знаков: (!) Приближенные значения ниже:

1	<	Л	< 2	2	<	Л	<	3
1,7	<	Л	< 1,8	2,4	<	Л	<	2,5
1,73	<	Л	< 1,74	2,44	<	Л	<	2,45
1,732	<	Л	< 1,733	2,449	<	Л	<	2,450
1,7320	<	Л	< 1,7321	2,4494	<	Л	<	2,4495
1,73205	<	Л	<1,73206	2,44948	<	Л	<	2,44949

Найдём сумму двух иррациональных чисел Л +л

1 +	2	= 3	<х<	2	+ 3	= 5
1,7 +	2,4	= 4,1	<х< 2	1,8	+ 2,5	~ 4,3
1,73+	2,44	= 4,17	<х< 2	1,74	+ 2,45	= 4,19
1,732+	2,449	= 4,181	<х< 2	1,733	+ 2,450	= 4,183
1,7320+	2,4494	= 4,1814	< х <	1,7321	+ 2,4495	= 4,1816