7. Дроби и операции над ними

Дробь а/в— упорядоченная пара натуральных чисел а и в, При этом а называется числителем, а в— знаменателем дроби. ,

О₁₇ Дробь – это упорядоченная пара (а/в), в которой знаменатель в указывает, на сколько рав-ных частей разделено целое число, а числитель показывает, сколько таких частей должно быть взято в дроби.

а/в называется правильной дробью, если а < в: Примеры: 1/7;4/20

а/в называется неправильной дробью, если а > в или а = в Примеры: 8/5 : 70/70.

а/в называется десятичной дробью, если в есть степень числа 10 . Примеры: 76/102=0,76 12557/100= 125,57

Сокращения и удлинения дроби

Дробь сокращают, деля числитель и знаменатель на общий делитель
Дробь удлиняют, умножая числитель и знаменатель на одно и то же натуральное число, отличное от нуля.

Дроби а/в и c/d происходят друг из друга при сокращении или удлинении и только тогда, когда а• d=b• c

Дробное число

О₁₈: Каждое множество всех дробей, которые проиcходят друг из друга при сокращениях или удлинениях, называется дробным числом.

Для указания дробного числа пригодна каждая дробь, принадлежащая соответствующему множес-тву дробей. Часто выбирается та дробь, числитель и знаменатель которой взаимно простые.

Дробные числа можно также представлять с по-мощью (конечных или периодических) десятичных дробей.

Множество всех дробных чисел обозначается Q+. Натуральные числа можно записать в виде обыкновенных или десятичных дробей. Поэтому N включается Q+.

Одноименные дроби

О_12. Дроби с равными знаменателями называются одноименными. Неодноименные дроби всегда мож-

но сделать одноименными, целесообразно их удли-няя или сокращая.

Дано	Одноименное представление
3/2; 5/6; 11/9	А)27/18; 15/18; 22 /18; Б) 54/ 36; 30/36 В) 81/54; 2) 45/54; 66/54

Знаменатель 18 в этом примере есть НОК знамена-телей 2, 6, 9 дробей; он называется общим знамена-телем этих дробей.

О ₂₀: Будем говорить, что дробное число а/в мень-ше дробного числа с/d,тогда и только тогда, когда а•d < b•с.

Особенно легко сравнивать дробные числа, кото-рые представляются с одинаковыми знаменателями или одинаковыми числителями.

Дробные числа располагаются всюду плотно. Это означает: ни одно дробное число не имеет непосредственно следующего за ним или между двумя дробными числами всегда лежит произвольное число других дробных чисел.

Сложение дробных чисел

О₂₁ Дробные числа складывают, выбирая для их обозначения одноимённые дроби (находя об-щий знаменатель) и складывая только числители, записав общий знаменатель.

Пример:13/4+4/5= 65/20+ 16/20=81/20

Действие сложения дробных чисел подчиняется тем же законам, что и натуральных чисел, что можно доказать.

Умножение дробных чисел

О₂₂ Дробные числа умножают, перемножая соответственно числители и знаменатели. Первое произведение-числитель, а второе – знаменатель произведения дробей. Например: 3 /4 *5/7 =15 / 28

Вычитание дробных чисел

О₂₂. Дробные числа вычитают, выбирая для их обозначения одноименные дроби (находя общий знаменатель) и вычитая только числители чисел.Пример:13/4-4/5= 65/20-16/20=49/20

Деление дробных чисел

Деление дробных чисел сводится к умножению на обратные числа.. Так как умножение выпол-нимо без ограниче-ний, то это верно и для деления.

О₂₃: Дробные числа делят, умножая делимое на дробь, взаимно обратную делителю.

Взаимно-обратныеми дробными числами назы-ваются числа, у которых числитель и знамена-тель поменяли местами : а /в и в /а.

Пример: 3/5:4/7= 3/5 7/4= 21/20.