Можно представить числа на схеме

Действительные числа R

Р ациональные ч Q ₊ Q- Иррациональн ч. I

Целые числа Z Дробные числа Q₊

Отрицательные Z_ Натуральные N.

целые числа числа и число 0.

Свойства числовой области относительно порядка

	N	Z	Q	R	С (комплексные числа)
Есть ли в этой области непосред­ственный пред-шественник каждого числа области?	Да (кроме нуля)	да	нет (всюду пло- тно)	нет (всюду плотно)	Нет (всюду плотно)
Есть ли в этой области не­посред-ственно после-дующее число для каждого числа области?	Да	да	нет (всю-ду плот-но)	нет (всюду плотно)	Нет (всюду плотно)
Имеет ли каждое непустое ограни-ченное множество точную верхнюю (нижнюю) грань в соответствующей области?	Да	да	нет	Нет	Да

5.Арифметические действия над разными числами их свойства

Сложение и его свойства

Слагаем		Сложение во всех числовых областях не имеет ограниче-ний и однозначно выполнимо
а + в	= X
cумма	сумма

Для произвольных чисел а, в, с соответствующей области справедливы свойства сложения:

а + в = в + а (коммутативность);

а + (в + с) = (а + в) + с (ассоциативность);

а+0= 0+а = а(0) — нейтральный элемент относительно сложения Коммутативность и ассоциативность сложения приводят к тому, что порядок |слагаемых не оказывает никакого влияния на сумму.

Умножение и его свойства

Умножение во всех числовых областях не имеет ограничений и однозначно выполнимо

Множители

а • в = х

Произведение Произведение

Для произвольных чисел а, в, с соответствую-щей области имеют место:

а • в = в • а (коммутативность);

а • 0 = 0• а

а• (в • с) = (а• в) • с (ассоциативность);

а• (в+ с) = а• в+ а•с (дистрибутивность);

а•1=1•а=а (1—нейтральный элемент

относительно умножения).

Коммутативность и ассоциативность умножения приводят к тому, что порядок сомножителей не оказы-вает никакого воздействия на произведение. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда по меньшей мере один из сомножителей равен нулю.

Вычитание и его свойства

Вычитание — это действие, обратное сложению, т. е. при данных числах а, в надо найти число х такое, что в + х = а.

УменьшаемоеВычитаемое		Вычитание не является вы-выполнимым во всех числовых областях
а – в = х
Разность Разн. Разность		В случае выполнимости оно однозначное

Для каждого числа а имеем а-а = 0, а-0 = а.

ДЕЛЕНИЕ

Деление — это действие, обратное умножению ,

т. е. для заданных чисел а и в необходимо найти число х такое, что в•х = а.

Делимое Делитель		Деление не явл. выполним во всех числовых областях.
а : в	= X
'		В случае выполнимости оно однозначно.
\Частное	Частное

Для каждого числа а имеет место:

а : 1 = а. Для каждого числа а верно, что а:а = 1 и 0:а= 0.

Деление на нуль не выполнимо принципиально во всех числовых областях, поскольку в таких случаях частное не существует или определено неоднозначно и, следовательно, вычислительные операции не имеют однозначного результата.

а) 0•х = 15 б) 0•х= 0 х = 15 : 0 х = 0 : 0

Такого числа нет. Для всех х верно 0 • х = 0.

Свойства числовых областей относительно вычислительных операций:

Операция	N	Z	Q+		R
Сложение а + в= х	всегда выполнимо
Вычита-ние а - в = х	Невсегда выполни­мо, например 3-5	всегда вы­полнимо		не всегда выполннимо, напр: 3,6 - 7,4	всегда выполнимо
Умноже-ние а•в= х Деление а :в = X	всегда выполнимо не всегда выполнимо