3) (27: 3) – 3 – Было тетрадей у Алеся

5-ый способ – решение задачи по действиям с частичными пояснениями результатов:

1. 3 + 3 + 3 = 9 (т.).

2. 27 + 9 = 36 (т.).

3. 36 : 3 = 12 (т.) – было тетрадей у Лени.

4. 12 – 3 = 9 (т.) – было тетрадей у Миши.

5. 9 – 3 = 6 (т.) - было тетрадей у Алеся.

Алгебраический способ решения

Используя чертёж задачи, составим уравнение.

Х – количество тетрадей у Алеся,

Х + 3 – количество тетрадей у Миши,

(Х + 3) + 3 – количество тетрадей у Лёни.

Уравнение: Х + (Х + 3) + (Х + 3) + 3 = 27. Используя переместительное и сочетательное свойства сложения, имеем: (Х + Х + Х) + (3 + 3 + 3 ) = 27.

Заменив сложение умножением, запишем уравнение:

Х·3 + 3 · 3 = 27 Решаем уравнение: Х·3 + 9 = 27.

Х·3 = 27 – 9

Х·3 = 18

Х = 18: 3

Х = 6

6 + (6 + 3) + (6 + 3) + 3 = 27

27 = 27

Ответ: было тетрадей : у Алеся–6, у Миши – 9, у Лёни – 12.

Проверка решения: 6 + 9 + 12 = 27 (т.).

Геометрический способ решения

А. Используя чертёж, найдём

М. 3 т 27 т. сумму отрезков

Л. 3 т.

У Алеся У Миши У Лёни

П еренесём три длинных и три коротких отрезка в один отрезок: 3 3 3

27 т.

Как известно, один маленький отрезок моделирует 3 тетради, а 3 таких же отрезка 3·3=9 (т.), три больших отрезка моделируют 27–9=18 (т.). Один большой отрезок моделирует 18:3=6 (т.) – количество тетрадей у Алеся. У Миши тетрадей 6+3=9 (т.), а у Лёни 9+3=12 (т.).

Дополнительная работа над задачей

1. Выбор рационального способа решения после её решения несколькими способами.

2. Объяснение выражений, составленных по условию задачи: обычно возникают трудности в пояснении выражений: 3 + 3 + 3, 27 – 9, 27 + 9.

3.Выбор модели к задаче зависит от вида и способа реше-ния задачи. Модель должна полностью представлять все

числовые данные, отношения и зависимости задачи, под- чёркивая наиболее существенные из них, их структуру.

4. Изменение текста задачи, чтобы исследовать, к какому решению это приведёт. Вначале мы значительно изменили текст задачи, сделали его удобным к понима-нию как по форме, так и по содержанию.

Способы проверки решения задачи:

1) прикидка результата;

2) решение задачи другим способом;

3) решение задачи, обратной данной; 4) установление соответствия всем числовым данным и отношениям задачи.

ПОИСК РЕШЕНИЯ СЮЖЕТНЫХ ЗАДАЧ НА ОСНОВЕ

СЕМАНТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ИХ ТЕКСТА

Учащиеся начальных классов испытывают большие трудности в поиске способа решения сюжетных, особенно нестандартных задач Учителя обычно применяют такие этапы работы над задачей:

1. Ознакомление с текстом задачи. Выделение условия, вопроса, известных и неизвестных данных, искомого.

2. Моделирование задач (чертёж, таблица, схема и др.).

3. Поиск способа решения задачи с помощью аналитико-синтетического способа разбора.

4. Осуществление решения.

5. Проверка и оценка полученного результата (ответа).

Главным этапом работы над задачей является третий, связанный с аналитико-синтетической поисковой деятельностью учащихся, с выдвижением предположений о способах решения задачи с их последующей проверкой. Обычно этот поиск сводится к распознаванию знакомых элементов в тексте задачи и её решению по аналогии с ранее решёнными учеником задачами.

Значительно повысить эффективность поиска способов решения может семантический анализ текста задачи. Для этого пользуются ключевыми словами и словосочетаниями типа больше (меньше) на, больше (меньше) в, вместе, взяли по, было – осталось и др. Обычно эти слова и словосочетания требуют выполнения определённых арифметических действий, для чего учащемуся необходимо сделать выбор. Но он, к сожалению, связан со значительными трудностями для него. Например, отношения больше на, больше в в большинстве задач требуют выполнения действий сложения и умножения соответственно.

Однако в задачах в косвенной форме и задачах на сравнение необходимо выполнять противоположные или обратные арифметические действия, что приводит к многочисленным ошибкам даже у учащихся старших классов. Избежать этих трудностей возможно при помощи семантического анализа текста задачи.

При семантическом анализе текст задачи обычно разбивается на отдельные части – слова или словосочетания, каждое из которых является словесной моделью определённого элемента задачи. В результате по названию или наименованию выделяются величины, их значения и особенности значений, отличающие от других значений той же величины, известные, неизвестные и искомые значения величины. Кроме того, в тексте сюжетной задачи могут иметься словесные описания соотношений, которыми связаны заданные в задаче значения величин. Так, например, слова – признаки на … меньше (больше) указывают на отношение разностного сравнения. Эти словосочетания можно заменить сочетанием предлога на с одним из слов из пары слов-омонимов: длиннее – короче, глубже – мельче, быстрее – медленнее, дороже – дешевле, шире – уже, выше – ниже, тяжелее – легче, старше – моложе, дальше – ближе, позже – раньше и др. Соотношение кратного сравнения задаётся таким же образом, лишь вместо предлога на используется предлог в. Кроме того, в признак этого соотношения входит слово раз.

Если в условии задачи нет слов-признаков вида соотношения, тогда характер соотношения устанав-ливается лишь по наличию в условии значений взаимо-связанных величин. Решающий должен знать характер зависимости между этими величинами, например, между тройками величин: ценой – количеством – стоимостью, скоростью – временем – расстоянием, длиной – шириной – площадью прямоугольника и др. Обычно значение одной из этих величин есть произведение значений остальных двух величин, например, значение расстояния равно произведению значений скорости и времени. По этой зависимости можно найти одно из значений величины по двум известным значениям.

СЕМАНТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ТЕКСТОВОЙ ЗАЛАЧИ

По мнению многих учёных, каждая сюжетная задача является словесной моделью некоторой реальной (задачной) ситуации. Обычно учащиеся чаще всего с помощью учителя пытаются воссоздать из текста задачи эту реальную ситуацию и, исходя из неё, решать задачу. Однако этого часто бывает недостаточно для получения ответа задачи. Поэтому целесообразно с помощью семан-тического анализа текста задачи установить все соотно-шения и зависимости между величинами, заданными в задаче, а затем по ним найти решение задачи.

Для проведения семантического анализа текста задачи можно воспользоваться следующим предписанием:

1. Установить количество величин, представ-ленных в задаче, по их названию или же по наименованию при значениях этих величин.

2. Определить, сколько и какие значения этих величин заданы в задаче. Обычно каждое значение величины состоит из трёх частей: названия величины, особенности этого значения и размера (наименования) этого значения, если это значение известно. Если размер не указан, то значение является неизвестным. И если в до-полнение к этому в задание этого значения входит вопрос сколько? или требование найти, то это значение искомое.

3. Если величина задана тремя и более значениями, то ищут слова-признаки было или было – осталось (если их нет, то следует попытаться их вставить). Местоимение всего или его синоним указывает, что значение, к которому относится это слово, является суммой всех остальных значений. При наличии глаголов было - осталось значение, к которому относится слово было, является уменьшаемым, а значение, к которому относится глагол осталось, является разностью.

4.Если величина задана двумя значениями, то высказывается предположение, что эти значения связаны соотношениями сравнения. При наличии местоимения столько же или его синонима имеет место соотношение равенства. Если имеется предлог на в сочетании со словом больше или меньше, то данные значения связаны соотношением разностного сравнения. Если же в тексте задачи стоит предлог в в сочетании с одним из этих слов и словом раз или же со словами составляет … часть, то это указывает на соотношение кратного сравнения. Если при значении стоит предлог в или слова часть (частей), то значение есть результат кратного отношения.

5.Если имеются в задаче три разные величины, из которых каждая задана одним своим значением, то при наличии предлога по в сочетании с местоимением всего и словом раз говорит о том, что значение, при котором стоит слово всего, есть произведение остальных двух значений, то есть делимое.

Приведём пример семантического анализа текста задачи: Ми-ша купил 12 марок, что втрое больше, чем Коля. Сколько марок купили оба мальчика? Переформулируем текст: Миша купил 12 марок. Это в 3 раза больше, чем Коля. Сколько всего марок купили оба мальчика? В задаче представлена одна величина - количество. Эта величина имеет три значения (одно известное – 12 марок, два неизвестных (количество марок, купленных Колей, и количество купленных марок вместе). Последнее значение является искомым. Отношение в 3 раза больше относится к известному значению, выраженному числом 12, на что указывает частица это. По приведенному предписанию число 12 является произведением неизвестного числа и числа 3, равного кратному отношению. Откуда неизвестное число равно 12:3=4 (марки). Местоимение сколько в сочетании со словом всего указывает на то, что искомое число равно сумме двух значений количества (известного и найденного): 12+4=16 (марок).Таким образом, существуют два способа анализа поиска решения сюжетных задач: традиционный, связанный с анализом модели реальной задачной ситуации, и нетрадиционный – семантический анализ текста задачи.

МЕТОД ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ

В РЕШЕНИИ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ

Этот метод в малой степени используется младшими школьниками. Покажем, что им доступен поиск решения текстовой задачи на основе метода предположения на примере: Возле школы стояли такси и велосипеды. У них было вместе 14 колёс. Сколько возле школы стояло такси и сколько велосипедов, если всего у них 5 рулей?

Обычно задача всеми сразу решается способом подбора. Однако он в математике играет лишь эвристическую роль.

К-во такси	Уних колёс	К-во велосипед.	У них колёс	Всего колёс
1	4	4	8	12
2	8	3	6	14

Задача имеет несколько способов решения.

Первый способ

Предположим, что возле школы стояло все 5 такси, тогда решением будет:

1. 4 · 5 = 20 (к.) Увеличение общего количества колёс

2. 20 – 14 = 6 (к.) обусловлено тем, что у такси на 2

3. 4 – 2 = 2 (к.) колеса больше, чем у велосипеда.

4. 6 : 2 = 3 (вел.)

5. 5 – 3 = 2 (такси). Ответ: возле школы стояло 2 такси и 3 велосипеда.

Второй способ

Предположим, что возле школы столо все 5 велосипеда, тогда решением будет:

1. 2 · 5 = 10 (к.) Уменьшение общего количества колёс

2. 14 – 10 = 4 (к.) обусловлено тем, что у велосипеда на

3. 4 – 2 = 2 (к.) 2 колеса меньше, чем у такси.

4. 4 : 2 = 2 (такси)

5. 5 – 2 = 3 (вел.)

Ответ: возле школы стояло 2 такси 3 велосипеда.

Рассмотрим третий – графический способ поиска решения. Исходим из того, что у такси в 4 раза больше колёс, чем рулей, а у велосипеда в 2 раза больше колёс, чем рулей. Покажем это с помощью отрезков:

Т.

В. 5 рулей

Расположим эти отрезки в одной линии

Т. Т. Т. Т. В. В.

Используя переместительное свойства сложения, изобразим:

Учитывая, что отрезки Т. и В. в сумме составляют 5, имеем:

Т. В. Т. В. Т. Т.

14 колёс.

5 5

Дальше решаем: 5 + 5 = 10; 14 – 10 = 4; 4 : 2 = 2 (такси)..

Одному отрезку Т. и В. соответствует число 5. По условию отрезок Т. обозначает количество такси во дворе. Следовательно, у школы стояло 2 такси и 3 велосипеда:

5 – 2 = 3 (вел)..

Ответ: у школы стояло 2 такси и 3 велосипеда.

Уяўленні аб некаторых геаметрычных фігурах дзеці атрымоўваюць у дзіцячым садзе. Яны ўмеюць адрозніваць квадрат, прамавугольнік, трохвугольнік, круг. У першым класе вучні таксама знаёмяцца з адносінамі “даўжэй-карацей”, “вышэй-ніжэй”, “правей-лявей”і інш. Пры гэтым настаўнік апіраецца на вопыт дзяцей. Напрыклад, з дапамогай нацягнутай і ненацягнутай вяроўкі знаёміць вучняў з прамой і крывой лініямі. Вяроўка з’яўляецца мадэллю гэтых ліній. Прамая лінія бясконцая. Калі ножніцамі адрэзаць двойчы частку прамой, то атрымаецца адрэзак. Адрэзак мае два канцы і абазначаецца кропкамі. Мадэллю пункта з’яўляецца след алоўка, які не мае памераў. Практычна дзеці ўстанаўліваюць, што два пункты можна злучыць адрэзкам, што праз два пункты можна правесці бясконцае мноства прамых. Пазней пункты і адрэзкі будуць абазначацца літарамі: • А, А В . Адрэзкі параўноўваюць па велічыні спачатку“на вока”, потым накладаннем і вымярэннем.

Далей вучням даецца ўяўленне аб ломанай лініі як геаметрычнай фігуры, якая састаўлена з адрэзкаў так,што канец аднаго адрэзка з’яўляецца пачаткам другога, а канец другога – пачаткам трэцяга і г.д. Пры гэтым такія адрэзкі не ўтвараюць новага адрэзка. Замкнёная ломаная лінія з’яўляецца граніцай многавугольніка. Пазней суму даўжынь старон многавугольніка называюць яго перыметрам.

Вялікую ўвагу настаўнік удзяляе вычэрчванню і вымярэнню адрэзкаў, знаходжанню іх сумы, рознасці, павялічэнню і памяншэнню даўжынь адрэзкаў на некалькі адзінак і ў некалькі разоў, іх рознаснаму і кратнаму параўнанню.

Настаўнік прапануе начарціць прамую лінію АВ, адзначыць на ёй пункт О. Часткі, на якія пункт разбіў прамую, называюць праменямі . А О В

Д алей прапануюцца дзве прамыя, якія маюць агульны пункт (перасякаюцца) С В

Часам пры перасячэнні ўтвараюцца роўныя К А

(прамыя) вуглы. Такія прамыя называюцца перпендыкулярнымі. Прамыя, якія не маюць агульнага пункта, называюцца паралельнымі. С D

A В

З мнагавугольнікамі (іх старанамі,вугламі і вяршынямі) дзеці знаёмяцца ў дзіцячым садзе: .

Многавугольнік – гэта геаметрычная фігура,якая мае граніцу ў выглядзе замкнёнай ломанай лініі. Адрэзкі, якія злучаюць пункты (вяршыні), называюць старанамі. Многавугольнік мае і вуглы, якія ўтвараюцца прамянямі (старанамі), што выходзяць з аднаго пункта.

Мадэллю вугла з’яўляецца малка – дзве пласціны, злучаныя цвіком. Прамы вугал утвараецца перагібаннем ліста паперы. Дзве лініі згібу дзеляць ліст на чатыры роўныя часткі, на чатыры прамыя вуглы. Гэтыя вуглы параўноўваюцца накладаннем. Затым дзеці знаёмяцца з вугольнікам, з дапамогай якога знаходзяць і будуюць вуглы, меншыя за прамы (вострыя) і большыя за прамы (тупыя). Пазней дзеці вучацца абазначаць вуглы літарамі, чытаць іх.

В

О А АОВ або ВОА

Мнагавугольнік, у якога тры вуглы, называецца трохвугольнікам. Ён абазначаецца літарамі В . Калі трохвугольнік мае прамы вугал, то ён - О А

прамавугольны, калі - тупы вугал, то ён – тупавугольны, калі ўсе вуглы вострыя, то ён– востравугольны. Па даўжыні старон трохвугольнікі класіфікуюцца на роўнастароннія і рознастароннія. З апошніх выдзяляюцца роўнабедраныя трохвугольнікі.

Калі ўзяць цыркуль і начарціць замкнёную лінію, то атрымаецца акружнасць з цэнтрам О.

О А

ОА–радыус акружнасці. Вымярэннем можна пераканацца, што ўсе радыусы роўныя. Частка паверхні, абмежаваная акружнасцю, называецца кругам. Калі акружнасць падзяліць на 360 роўных частак і ўзяць вугал, што ўтвораны двумя радыусамі, якія апіраюцца на 1/360 частку акружнасці, то атрымаем адзінку вымярэння вуглоў–градус. Вучні знаёмяцца таксама з прыстасаваннем для вымярэння вуглоў – транспарцірам. Яны ўстанаўліваюць, што прамы вугал роўны 90 градусаў, а сума вуглоў кожнага трохвугольніка раўняецца 180^о. Для гэтага праводзяцца перадматэматычныя доказы ў выглядзе эксперыменту. Бяруцца трохвугольнікі, розныя па старанах і вуглах, а таксама па велічыні, з дапамогай транспарціра вымяраюцца іх вуглы. Затым вылічваюцца сумы гэтых вуглоў кожнага трохвугольніка, якія прыблізна раўняюцца 180 градусам. Дзеці вучацца будаваць геаметрычныя фігуры (адрэзкі, вуглы, трохвугольнікі, прамавугольнікі, акружнасці) з дапамогай вугольніка, цыркуля, лінейкі і транспарціра спачатку на лінаванай, а затым на нелінаванай паперы.

З уяўленнямі аб прамавугольніку і квадраце дзеці знаёмяцца ў дзіцячым садзе. Звесткі аб прамавугольніку і квадраце абагульняюцца, даецца іх азначэнне праз род і відавое адрозненне гэтых фігур. У прамавугольніка ўсе вуглы прамыя, а процілеглыя стораны роўныя. У квадрата, як прыватнага выпадку прамавугольніка, усе стораны роўныя.

В С АВ = СD; ВС = АD;

А D А = В = С= D

Далей вывучаецца перыметр прамавугольніка і квадрата як сумы даўжынь усіх старон.

В С

Р = (а + в) • 2 Р = 4 • а

А D а

На аснове індуктыўнага вываду выводзіцца правіла і формула вымярэння плошчы прамавугольніка і квадрата.

S = а • в S = а • а = а²

S = 2 • 4 = 4 • 2 = 8 (см² ) S = 2 • 2 = 4 (см² )

Далей дзеці знаёмяцца з чатырохвугольнікамі, у якіх процілеглыя стораны паралельныя, паралелаграмамі.

В С АВ // СD

А D ВС // АD Практычна ўстанаўліваецца, што АВ = СD; ВС = АD; АС>ВD

У пачатковых класах вучні знаёмяцца з сістэмай каардынат, якая была ўведзена Р.Дэкартам. Спачатку яна ўводзіцца на прамені з аднолькавымі дзяленнямі, пачынаючы з нулявога пункта, і прымяняецца для графічнага паказу цэлых неадмоўных лікаў. Затым уводзіцца прамавугольная сістэма каардынат.

Яе прымяненню папярэднічаюць дыдактычныя гульні тыпу “Ход каня,” “Куды паўзе смоўж” і інш. Вучні выконваюць заданні на вызначэнне каардынат пунктаў адрэзкаў, будуюць адрэзкі па каардынатах іх канцоў, трохвугольнікі і многавугольнікі па каардынатах іх вяршынь (малюнак 1). Пазней вучні навучаюцца будаваць дыяграмы (малюнак 2).

Малюнак 1 Малюнак 2

В (5;5)

5 50

4 40

3 30

2 20

1 А (2;2) С (8;2) 10

0 0