1) Наличие матрицы (таблицы) не меньше 3-го порядка;

2) Все коэффициенты корреляции положительные;

3) Все коэффициенты коррел. Статистически значимые.

Эти условия выполнены. Факторизация была прове-дена по формуле Спирмена, уточненной Терстоуном [2] :

,

где −­ факторный вес по общему фактору g для переменной k;

­− сумма всех коэффициентов корреляции в столбце k, кроме неизвестного элемента главной диагонали;

­ − квадрат этой суммы;

­− сумма квадратов всех коэффициентов корреляции в столбце k, кроме неизвестного элемента главной диагонали;

−­ сумма всех коэффициентов корреляции в матрице, кроме неизвестных элементов главной диагонали.

В результате получили следующую факторную матрицу:

Показатели (серии)	Факторные веса (g)
I	0,611
II	0,925
III	0,614

Проранжируем эти переменные по факторному весу g: 0,925;0,614;0,611. Из расчётов устанавливается, что самое важное место в дедуктивных рассуждениях имеет правило силлогизма, затем правило заключения и, наконец, правило отрицания .

КРИТЕРИЙ ВИЛКОКСОНА

Применяется для повторных измерений на одной и той же

группе испытуемых, когда распределение не обязательно нормальное. Берётся та из формул Т = ΣR₊ и Т=|ΣR-| - чи-сленное значение по которой получено меньшее, где R₊-- ранг положительной разности, R- -- ранг отрицательной разности. Пример: Определим существенность различия коли-чества запомненных чисел по тесту после и до эксперимента.

№ После До Разность Ранг D Ранг с + Ранг с -

п/п эксп. эксп. D Dб.зн. без зн. разн. D разн. D

1 24 20 + 4 4 4 4

2 17 2 +15 15 10 10

3 9 3 + 6 6 5 5

4 12 15 - 3 3 2,5 -2,5

5 21 8 +13 13 8 8

6 16 9 +7 7 6 6

7 12 14 -2 2 1 -1

8 24 16 +8 8 7 7

9 12 9 +3 3 2,5 2,5

10 17 3 +14 14 9 9

Σ R+=52,5 |ΣR-|=3,5

3,5 меньше 52,5. Значит Т = |Σ R- | =3,5. Далее проверяем по таблице критических значений для п=10.

Видим, что 3,5 меньше 5,но больше 3, поэтому р меньше 0,02.Различие в запоминании чисел до и после тренинга в эксперименте существенное (достоверность 98%).

U - КРИТЕРИЙ МАННА-УИТНИ

Используется для независимых выборок. Берётся

U = N₁ х N_{2 +}N₁ (N ₁ +1):2 - R₁

U = N₁ хN₂+ N₂ (N₂ + 1) :2 - R₂ в зависимости, который из них меньше.

N₁ - _{КОЛИЧЕСТВО ИСПЫТУЕМЫХ В МЕНЬШЕЙ ГРУППЕ;}

N₂ - количество испытуемых в большей группе;

R₁-сумма рангов для меньшей группы;

R₂- сумма рангов для большей группы.

Группа 1 Группа 2

Х₁ Ранг Х₂ Ранг

1 1 2 2

3 3,5 4 5

3 3,5 7 8

5 6 8 9,5

N₁= 10 6 7 N₂=10 10 13,5

8 9,5 13 16

9 11,5 15 17

9 11,5 16 18

10 13,5 17 19

12 15 18 20

R₁ = 82 R₂ =128 Ранги определяются путём расположения по порядку всех значений, независимо от того, к какой группе они принадлежат. Если встречаются одинаковые значения, присваивается средний ранг: напр. , для 3 и 3 ранг (3+4):2=3,5.

U = N₁N₂+ N₁( N₁ +1) : 2 - R₁ `= 10*10 + (10+1) : 2 – 82 = 73

U = 10*10+10*(10 + 1) :2 - 128 = 27. Так как 27 меньше 73,то берём U =27. По таблице критических значений U для достоверности 95% (р=5%) и N₁= 10 и N₂ =10 значение U = 27 больше табличного 23. Полученное значение U не является значимым. Отметим, что наоборот по сравнению с другими критериями предпочтение отдаём меньшему значению .

Д ля расчета ² – критерия используется формула: , где х_і - частоты результатов наблюдений до эксперимента (или частости в %),

у_і - частоты результатов наблюдений после эксперимента

(частости в %), n - общее число групп, на которые разделились результаты наблюдений. Пример: на выборке 25 учащихся был проведен эксперимент. Предположим, что получены бал-лы по тесту до и после эксперимента ( , ).

.	ДО ЭКСПЕРИ-МЕНТА		ПОСЛЕ ЭКСПЕРИ- МЕНТА		-	( - )2
БАЛЛЫ	Хі - К-ВО БАЛ- ЛОВ	Х1і -ТО ЖЕ В %	У1 і к-во бал-лов.	У1 і то же в %
«5»	6	24%	7	28%	+4	16	0,67
4	5	20%	9	36%	+16	256	12,80
3 2 “1”	14	56%	9	36%	-20	400	7,14
Всего	25	100%	25	100%	0	672	2=20,6

Результат проверяем по таблице критических значений ² для n-1=3-1=2 степеней свободы и достоверности 95%. Находим ²_крит.=5,99. В нашем случае ²= 20,6 больше 5,99. Различие существенное.

Для обработки анкет с альтернативным ответом (да-нет) применяется другая формула критерия Пирсона ( ²). Например, учащимся был задан вопрос:  Нравится ли вам изучать математику по тетради на печатной основе ?

Количество ответов на вопросы занесли в таблицу:

	Да	Нет	Всего
Нравится	30 (А)	10 (В)	40 (А+В)
Не нравится	10 (С)	30 (D)	40 (С+D)
Всего	40 (А+С)	40 (В+D)	80 (А+В+С+D)

Данные подставили в формулу:

,

где А – наибольшее число таблицы,

В – наименьшее число таблицы.

По таблице критических значений для 1-ой степени свободы и 95% достоверности имеем 3,84.

Так как 9,025 > 3,84, то учащиеся предпочитают обучаться по тетрадям на печатной основе.

Объём выборки - не менее 30 значений. В табличной ячейке - не менее 5 значений .Используетсядля расчёта с учётом частостей (по Кыверялгу А.А.).

1.Заполнить таблицу в виде колонок со строками для 1-го и 2-го измерений. Если в ячейке менее 5 значений, то два или несколько значений признаков следует объединить.

2. Вычислить для каждой колонки процентное соотношение количества записанных в каждой ячейке значений ко всему количеству значений данной колонки.

3. Найти разности процентов 2-го и 1-го измерений для каждой строки последних колонок и записать их в новой колонке.

4. Возвести в квадрат значения разности каждой строки этой колонки, записав их в новой колонке.

5. Разделить полученный квадрат разности каждой строки последней колонки на к-во процентов этой строки

для 1-го измерения.

6. Найти сумму полученных частных каждой строки, записав их в новой колонке.

7. Определить к-во степеней свободы по к-ву строк (столб- цов) таблицы со значениями за вычетом числа 1.

8. Определить по таблице критических значений для определённых степеней свободы. .критическое значение.

9. Сравнить последнюю сумму частных (итог расчётов) таблицы с найденным критическим значением. Если она равна или больше его, то различие между результатами измерений существенное с требуемой достоверностью.

Для расчета ² – критерия используется формула: ,Получим ответ на вопрос, существует ли связь между ответами 200 опрошенных человек об удовлет-воренности оплатой труда и сферой их деятельности.

Сфера Деятельности	К-во работников, давших ответ на анкету об удовлетворённости оплатой труда
	Совсем не удолетвор.	Не совсем Удовлетворён	Полностью Удовлетворён	Итого
Бюджетные НИИ	22 (17,5)	20 (16,5)	8 (16)	50
Государственные-предприятия	36 (28)	30 (26,4)	14 (25,6)	80
Коммерческие Структуры	12 (24,5)	16 ( 23,1)	42 (22,4)	70
Итого работник. Доля работников	70 0,35	66 0,33	64 0,32	200 1,00

Сначала вычисляется доля работников, ответивших

• совсем не удовлетворён --70:200=0,35;

• не совсем удовлетворён --66:200=0,33

• полностью удовлетворён --64:200=0,32

Записываем в последней строке таблицы.

Затем по этим долям находим для каждой строки:

1-ой—50*0,35= 17,5; 50*0,33= 16,5 ; 50*0,32= 16;

2-ой—80*0,35= 28; 80*0,33= 26,4 ; 80*0,32= 25,6;

3-ей—70*0,35= 24,5; 70*0,33= 23,1 ; 70*0,32=22,4.

Записываем теоретические частоты в скобках.

Расчёт ведём по формуле:

(22 - 17,5)² : 17,5 + (20 - 16,5)² : 16,5 + (8 - 16)² : 16 +

+(36 - 28)² : 28 +(30 – 26,4)² : 26,4 +(14 – 25,6)² : 25,6 +

+ (12 – 24,5)² : 24,5 +(16 – 23,1)² : 23,1 +(42-22,4)² : 22,4 =

= 39,6.

Число степеней свободы по таблице из трёх

строк и трёх столбцов : (3-1)*(3-1)=4.

Приняв уровень значимости 0,05 (достоверности 0,95), по таблице критических значений находим значение хи-квадрата 9,49. Так как полученное значение 39,6

значительно больше табличного 9,49, то подтверждается наличие существенной зависимости между рассмотрен-ными показателями.

Также можно использовать для расчета ² – критерия

: , частости условных распределений, вычисленные по каждой строке, которые не совпадают с частостями безусловного распределения, вычисленных по итоговой строке,тогда распределение вряд ли можно считать случайным.

Сфера деятельности	К-во работников, давших ответ на анкету об удовлетворённости оплатой труда
	Совсем не удолетвор.	Не совсем Удовлетворён	Полностью Удовлетворён	Итого
Бюджетные НИИ	0,440	0,400	0,160	1,00
Государственные-предприятия	0,450	0,375	0,175	1,00
Коммерческие Структуры	0,170	0,230	0,600	1,00
Итого	0,350	0,330	0,320	1,00

Вычислим условные частости для каждой строки:

1-ой : 22:50=0,440; 20:50=0,400; 8:50=0,160. Всего 1,00

2-ой : 36:80=0,450; 30:80=0,375; 14:80=0,175. Всего 1,00

3-ей : 22:70=0,170; 16:70=0,230; 42:70=0,600. Всего 1,00

Затем находим для каждой строки значение хи-квадрат:

для 1-ой:50*[(0,44-0,35)²:0,35+(0,40-0,33)²:0,33+(0,16-0,32)²:0,32] =5,9

для 2-ой:80*[(0,45-0,35)²:0,35+(0,375-0,33)²:0,33+(0,175-0,32)²:0,32]=8

для 3-ей:70*[(0,17-0,35)²:0,35+(0,23-0,33)²:0,33+(0,6-0,32)²:0,32]=25,7

Всего будет 5.9+8+215,7=39,6. Выводы такие же, как раньше.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена вычисляется так:

, где - коэффициент ранговой корреляции, d - разность между рангами сравниваемых объектов, - количество составленных пар. Поправка на совпадение рангов прибавляется к числителю.

Например: из класса случайным образом выбрали 5 учеников. Протестировали их знания по математике и логическое развитие по 10-балльной шкале. Составили таблицу:

Знания		Развитие		Разности рангов d	d2
Баллы	Ранги	Баллы	Ранги
3	1	6	2	+ 1	1
5	2	5	1	- 1	1
6	3	7	3	0	0
9	4	8	4,5	+ 0,5	0,25
10	5	8	4,5	- 0,5	0,25
					Σ=2,5

Если баллы в таблице одинаковые, то берется среднее арифме-тическое мест, которые они в ней занимают в таблице. В нашем случае для четвёртого и пятого мест ранг равен (4+5):2=4,5. Нахо-дим поправку для двух совпадений данных по формуле (а³ –а) :12 =( 2³-2):12=0,5. Прибавляем поправку 0,5 к числителю формулы: .Находим по таблице критических значений для достоверности 95% и п-2=5-2=3 степеней свободы. Имеем 0,90. Корреляция существенная, так как 0,97 больше 0,90.

КРИТЕРИЙ ФРИДМАНА

Критерий многофункциональный представляет угловое преобразование в любой шкале. Он предназначен для сопоставления двух как зависимых, так и независимых выборок по частоте встречаемости интересующего исследователя эффекта. Нижняя граница выборок – 5 наблюдений, имеются другие варианты, верхняя граница-- не ограничена. Критерий построен на сопоставлении долей в долях единицы или процентах. Суть критерия состоит в определении того, какая доля наблюдений в данной выборке характеризуется данным эффектом и какая доля им не характеризуется. Затем эти доли в процентах переводятся в величины центрального угла (радианы), при этом 100% составляет 3,14159…. , предполагая, что = arcsin (V Р) . Критерий позволяет определить, действительно один угол статистически достоверно превосходит другой. Этим критерием решаются три задачи:1) сравнение уровней; 2) сравненпе сдвигов и 3) сравненне распределений. Допустим требуется определить, различаются ли две группы студентов по успешности решения экспериментальной задачи : в первой группе из 20 человек с задачей справились 12 человек, а во второй группе из 25 студентов справились 10 человек .В первом случае процентная доля решивших задачу составит 12/20*100%=60% (А), а во втором случае процентная доля решивших задачу будет: 10/25*100%=40% (В). В радианах эти проценты составят (60%)=1,772 (А) и (40%)=1,369 (В). . Теперь эмпирическое значение рассчитаем по формуле:

где: ₁ -угол, соответствующий большей процентной доле: -- ₂ -угол, соответствующий меньшей процентной доле; -- п₁ – количество наблюдений в первой группе; --- п₂ – количество наблюдений во второй группе.

В нашем случае:

≤ ≥

Группы	Эффект есть ----задача Решена			Эффекта нет—задача не решена			Сумма
Испытуемые	Их доля	Количество испытуемых		Их доля	Количество испытуемых		Суммы
1-й группы	60%	12	А	40%	8	Б	20
2-й группы	40%	10	В	60%	15	Г	25
Суммы	100%	22		100%	23		45

Результат формулы равен 1,34.

По таблице критических значений определим уровню значимости, которому соответствует значение ^* = 1,34. Он равен 0,09 (мало).

Для критерия Фишера установлены следующие критические значения:

• 1,64 ( для р ≤ 0,05);

• 2,31 ( для р ≤ 0,01).

Так как _эмп =1,34 меньше каждого из критических значений (2,31 для р ≤ 0,05 и 2,31 для р ≤ 0,01 ), то различие в результатах ре-шения задачи в первой и второй группах несущественное

АЛГОРИТМ РАСЧЁТА КРИТЕРИЯ ФИШЕРА

1.Начертите четырёхклеточную таблицу из двух строк и двух столбцов; 1-ый столбец – есть эффект, 2-ой столбец – нет эффекта; 1-ая строка – запись данных 1-ой группа , 2-ая строка—запись данных 2-ой группы.

2. Подсчитать к-во испытуемых в 1-ой группе, у которых есть эффект, и записать число в верхней левой ячейке таблицы.

3. Подсчитать к-во испытуемых в 1-ой группе, у которых нет эффекта, и записать число в верхней правой ячейке таблицы. Подсчитать сумму по двум верхним ячейкам. Она должна совпадать с количеством испытуемых первой группы.

4. Подсчитать к-во испытуемых во 2-ой группе, у которых есть эффект и записать число в нижней левой ячейке таблицы.

5. Подсчитать к-во испытуемых во 2-ой группе, у которых нет эффекта, и записать число в нижней правой ячейке таблицы. Подсчитать сумму по двум нижним ячейкам. Она должна совпадать с количеством испытуемых второй группы.

6. Определить процентные доли испытуемых, у которых есть эффект, путем деления их количества на общее к-во человек в данной группе, записать результаты соответственно в левой верхней и левой нижней ячейках в скобках.

7. Проверить, является ли одна из процентных долей нулю. Если это так, то примените критерий Хи-квадрат.

8. Определите по таблице величины углов для каждой из сопоставимых процентных долей.

9. Подсчитайте эмпирическое значение по формуле:

где: ₁ -угол, соответствующий большей процентной доле: ₂ -угол, соответствующий меньшей процентной доле; п₁ – количество наблюдений в первой группе; п₂ – количество наблюдений во второй группе 10..Сопоставьте полученное значение по формуле с критическими значениями. Для критерия Фишера установлены следующие критические значения:1,64 ( для р ≤ 0,05); 2,31 ( для р ≤0,01). Если _{эмп больше крит},нулевая гипотеза отклоняется, различие существенноена заданном уровне значимости. Можно уточнить уровень значимости по другой таблице.

Большое значение в психологических исследованиях придаётся многомерному анализу, который «состоит в разбиении анализируемой совокупности объектов, заданных многомерными признаками, на сравнительно небольшое число сгустков, скоплений, что позволяет переходить от большого числа признаков к меньшему и выявлять наиболее иформативные признаки. Следует отметить, что многомерный анализ больших массивов информации может быть осуществлён лишь с помощью обработки данных на ЭВМ. Многомерный анализ включает в себя ряд методов: факторный анализ, кластерный анализ, дискриминантный анализ и др. …..Кластерный анализ позволяет объединить в одно-родные группы (кластеры) элементы совокупности в сжатом виде без чрезмерной потери информации. Дискриминантный анализ предназначен для предварительной классификации данных. Производя пере-группировку данных и вычисляя по формуле их новые значения, можно получить наилучшее расчленение первоначальных данных на группы» [1, с.348-349]. Нахождение множественной или совокупной корреляции (связи с тремя и более признаками) требует также громоздких расчётов, а значит применения ЭВМ.

……Имеются стандартные программы математико- статистических расчётов результатов исследований факторным, кластерным и дискриминантным методами с применением современных ЭВМ, Остановимся лишь на простейших случаях.

Корреляционные (факторные) связи позволяют составлять корреляционные матрицы в виде таблиц, определять наиболее существенные связи, сводя их к минимальному числу факторов [1,2]. Например, с помощью однофакторного анализа определили, от каких переменных (правил вывода) зависит фактор «дедуктивное рассуждение». Для этого на выборке из 15 младших школьников ис-следовали три серии правил: отрицания (I),силлогизма (II), заключе-ния (III). В течение учебного года определялись взаимосвязи этих правил, заключённых в заданиях вида учитесь правильно рассуж-дать, их влияние на общий дедуктивный фактор.

Коэффициенты корреляций результатов между правилами найдены по формуле ранговой корреляции. Была получена следующая матрица интеркорреляций.

Серии	I	II	III
I	-	0,561	0,373
II	0,561	-	0,564
III	0,373	0,564	-
	0,834	1,025	0,937

Полученные коэффициенты корреляции статисти-чески значимы на уровне p=0,05 (достоверность 95%).

Факторизация на основе однофакторной модели Спирмена возможна при следующих условиях: