ЧИСЛОВЫЕ СИСТЕМЫ И ИХ СВОЙСТВА

План

1, Классификация числовых систем.

2. Основные свойства числовых систем.

3. Аксиоматическое представление чисел.

4. Теоретико-множественное обоснование

целых неотрицательных чисел.

5. Величинное обоснование различных классов

чисел

6. Делимость чисел.

7. Обыкновенные дроби и операции над ними.

8.Десятичные дроби и операции над ними.

9.Положительные и отрицательные

рациональные числа и операции над ними. 10. Действительные числа и операции над

приближёнными числами.

Литература

Основная

1.Числовые системы, Делимость натуральных чисел./ Сост. Р.О. Кирбай.

--МГПУ ИМ. Н.К, Крупской,2000.—60 с.

2. Стойлова, Л.П. Основы начального курса математики /Л.П. .Стойлопа----М.:Просвешение,1988.—329 с.—Гл.2.

Дополнительная

3.Математика: Справочник школьника и студента/ В.Франк :пер. с немецкого

--М:Дрофа,2000.—365 с. ≠≥±∞≥∩≈£∑•≡≤≥√

ОСНОВНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ СИСТЕМЫ

1. Натуральные числа N ! ! ! ! ! ! ! ! !

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Натуральное число N указывает количество элементов конечного множества.

0-не является натуральным числом.

2. Целые числа Z Множество целых чисел есть объединение множества натуральных чисел и множества им противоположных им чисел.

! ! .! ! ! !

-2 -1 0 +1 +2 +3

3Дробные числа Q₊ ! ! ! ! ! !

0 1/2 1 3/2 2 3 4 5

Каждое множество всех дробей, которые получаются друг из друга делением или умно-жением (числителя или знаменателя) на общий множитель есть дробное число.

4.Рациональные числа Q

! ! ! ! ! ! !

2 1--1/2 0 + 1/2 + 1 +2

Множество рациональных чисел – это объединение множества дробных чисел и чисел, им противоположных.

5.Действительные числа R

! ! ! ! ! !

-2 -V3 -1-1/2 0 +1/2+ 1 +V3 +2

Множество действительных чисел—это множество всех конечных или бесконечных(периодических или непериодических) десятичных дробей.

Числовая прямая — это прямая с заданной нулевой точкой и единичным отрезком е , так что точки прямой могут быть соотнесены однозначно с действительными числами. Из части числовой прямой, содержащей точку нуль и точку, соответст-вующую единице. Эта часть называется числовым лучом. Соответствие чисел области и ее подобласти точкам числовой прямой не является однозначно обратимым. Хотя каждому рациональному числу можно сопоставить точку числовой прямой, но не каждой точке отвечает рациональное число.

3. Основные свойства числовых систем

Числовые системы обладают определёнными свойствами. Рассмотрим некоторые из них.

Отношения порядка

Каждая числовая область упорядочивается с помощью отношений меньше (<) В соответ-ствующих числовых областях: а < в тогда и только тогда, когда а ≠ в; а не >в.

а >в тогда и только тогда, когда а не< в и а ≠в

При изображении действительных чисел на число-вой прямой из двух различных чисел меньшее всегда лежит левее большего.

Свойства отношения «меньше»:

Для произвольных чисел а, в, с соответствующей области справедливо:

• Если а < в и в < с, то а < с.

• Если а < в, то не верно, что в < а.

• Или а < в, или в < а или а = в.

• Если а < в, то а + с < в + с.

• Если а < в и с > 0, то а•с < в•с.

• Нe верно а < а.

Последующее число:

О₁. : Пусть а, в — элементы упорядоченной числовой области. Число в называется непосред-ственно последующим числом за а внутри числовой области тогда и только тогда, когда а < в и нет в области числа с такого, что а < с < в. Для каждого числа существует однозначно опреде-ленное непосредственно последующее число только в областях N и Z . Примеры:

4 В области n непосредственно следует за 3. 4 в области n не является непосредственно следую-щим за 2, так как имеется число 3 (3 из n), которое лежит между 2 и 4.

Предшествующее число

О_2.: Пусть а, в — элементы упорядоченной числовой области в называется непосредственно предшествующему числу а внутри области тогда и только тогда, когда в < а и нет числа с из этой области, для которого в< с < а.

Для каждого числа существует однозначно определенное предшествующее число только в Z

. В N каждое число, кроме нуля, имеет однозначно определённое непосредственно предшествующее число. ■ 3 в области N — непосредственно предшествующее числу 4. 2 в области N не является непосредственно предшествующим числу 4, так как имеется число 3 , которое лежит между 2 и 4.

Плотность числовой области

О₃'. Числовая область называется всюду плотной относительно определенного в ней отношения порядка тогда и только тогда, когда для двух произ-вольных чисел области а, в (а < в) всегда имеется число с из области (а < в) для которого а < с < в.

Числа области Q расположены всюду плотно, так как для двух произвольных рациональных чисел

а < в имеем (а+в)/2 из множества Q а < (а+в)/2 < в

2, Аксиоматическпй подход к изучению натуральных чисел

АКСИОМЫ ПЕАНО

Основные понятия: основные объекты: число, единица; основные отношения между натуральными числами: непосредственно следует за.

Аксиома 1: Единица есть натуральное число, которое не следует непосредственно ни за каким натуральным числом.

Аксиома 11. Каково ни было натуральное число а, всегда существует одно и только одно число а* , непосредственно следующее за а, т.е. из а=в вытекает а*=в*.

Аксиома 111. .Любое число следует не более чем за одним числом, т.е. равенство а*=в* влечёт а=в. Аксиома 1У. Если какое-либо множество натураль-ных чисел М обладает следующими двумя свойства-ми:

а) оно содержит единицу;

б) содержа какое-нибудь натуральное число а, оно содержит и непосредственно следующее за ним число а^*, то это множество М есть множество натураль-ных чисел. Это свойство называется аксиомой ин-дукции и часто формулируется по-другому:если число а принадлежит М, то а* =а+1 также принадлежит М. Тогда М содержит все натуральные числа. .

Исходя из аксиом Пеано производятся арифме-тические действия над натуральными числами, например:.

O₁ Суммой. натуральное числа а + 1 называется на-туральное число а*, непосредственно следующее за а.

. Суммой произвольного натуральное числа а и натурального числа а*, непосредственно следую-щем за другим произвольным натуральным числом в, называется натуральное число (а+в) *, непосред ственно следующее за суммой ( а+в) и др.

3.ТЕОРЕТИКО=МНОЖЕСТВЕННЫЙ ПОДХОД К ИЗУЧЕНИЮ ЧИСЕЛ

Счётным множеством называется бесконечное мно-

жество, когда имеется взаимно-однозначное соот-ветствие элементов м-ва А м-ву натуральных чисел. Численность конечного м-ва типа : Т={s,h,f, h}; обозначается п (Т) =4.

Для любых м-в А,В, и С справедливы следующие

законы :

коммутативности: А В = В А; А∩ В = В∩ А;

ассоциативности: (А В) С= А (В С)

(А∩)В∩С=А∩(В∩С);

дистрибутивности:(А В) ∩С =(А∩ С) В ∩ С;

(А∩В) С= (А С) ∩ (В С)

Теоретической основой сложения целых неотри-цательтельных чисел (ЦНЧ) является операция объединения А В=С конечных неперасекающихся множеств .

Пусть количество элементов п(А)=п{♣,♣,♣}=3, п(В)=п{♥,♥}=2, тогда п(С)=5,п(А В)=п{♣,♣,♣,♥,♥}=3+2=5.

Теоретической основой вычитания ЦНЧ является операция разности множеств С\А или С\В, где А С и В С. Тогда п( С\А)=5-3=2, п(С\В)=5-2=3.

Теоретической основай умножения ЦНЧ является произведение ЦНЧ, такое, что:

1) а•в=а+а+а+...+а (в раз), 2) а•1=а, 3) а•0=0.

Теоретической основой деления ЦНЧ является разбиение множества А={■,■,●,●,▲}, где п(А)=6, на равночисленные подмножества:если получаем количество элементов каждого подмножества 6:3=2, то это будет деление на равные части; если получаем количество частей 6:2=3. Это будет деление по содержанию.

Применение в алгоритмах вычислений