2.2.Организация обучения внетабличному умножению и делению с использованием разноуровневых заданий и тестов. Точки нельзя отступы нужно

К внетабличному умножению относят случаи умножения, выходящие за пределы таблицы умножения однозначных чисел, результаты которых не превышают 100.

Следующие примеры на умножение относятся к этому разделу: а)20·4; б)23·3; в)25·2; г)23·4;д)3·20; е)4·12;ж)4·15; з)4·13. Соответствующие примеры на деление относятся к внетабличному делению: а)80:4; б)69:3; в)50:2;г)92:4; д)60:20; е)48:12; ж)60:15; з)52:13.

Хотя примеры 20·4 и 80:4 относятся к внетабличным случаям, их решение легко выполняется на основе знания таблицы умножения, если 20 и 80 единиц превратить в десятки—2 дес. и 8 дес. Поэтому в учебниках эти случаи выделены в особый раздел—«Умножение и деление круглых десятков». Все остальные примеры составляют содержание особого раздела—«Внетабличное умножение и деление».

Умножение двузначного числа на однозначное может быть объяснено на решении примера 12·3. Умножить 12 на 3—это значит взять 12 слагаемых 3 раза: 12+12+12. Но 12=10+2. Преобразуем выражение 12+12+12 в равное ему: 10+2+10+2+10+2, а затем применим переместительный и сочетательный законы сложения и заменим сложение умножением: (10+10+10)+(2+2+2)=10·3+2·3.

Следовательно, 12·3=(10+2)·3=10·3+2·3=30+6=36.

При рассмотрении записи сложного примера 10·3+2·3 уместно сообщить учащимся, что в сложных примерах сначала выполняется умножение, а затем сложение.

Для тех учащихся, которым, быть может, окажется трудным охватить последовательность указанных выше преобразований, можно иллюстрировать наглядно (на пучках по 10 палочек и отдельных палочках) прием умножения двузначного числа на однозначное.

Учащиеся делают обобщение: чтобы двузначное число умножить на однозначное, надо сначала умножить на это число десятки, а затем единицы и полученные результаты сложить. Так учащиеся практически знакомятся с распределительным свойством умножения относительно суммы во множимом и его применением.

Умножение однозначного числа на круглые десятки. Объяснение приема умножения на круглые десятки может быть сделано сначала на основе использования наглядных образов.

Учащиеся выполняют практическую работу—в тетради по клеткам делают карандашом чертеж, на котором изображено 2 ряда по 10 квадратов, в каждом из которых по 4 клетки. Считают и записывают, сколько всего клеток на чертеже:

4·10·2=80, или 4·2·10=80.

Учитель обращает внимание на второй способ умножения.

Учащиеся делают обобщение: чтобы умножить однозначное число на круглые десятки, можно умножить его на число десятков и полученный результат умножить на десять.

Умножение однозначного числа на любое двузначное выполняется с использованием распределительного закона умножения относительно суммы во множителе. Объяснение приема умножения может быть проведено на основании замены умножения сложением и группировки слагаемых.

Пусть требуется 3 умножить на 12:

3·12=3+3+3+3+3+3+3+3+3+3+3+3=(сгруппируем 10 троек и 2 тройки и заменим сложение умножением)=3·10+3·2=30+6=36. Итак, 3·12=3·10+3·2=36.

Учащиеся делают вывод: чтобы умножить однозначное число на двузначное, можно его умножить на число десятков, а затем на число единиц и полученные произведения сложить.

Деление двузначного числа на однозначное может быть объяснено на наглядных пособиях. Можно взять 2 пучка палочек, по 10 палочек в каждом, и 6 отдельных палочек и предложить разделить их на 2 равные части. Дети в каждую часть положат сначала по одному пучку, а затем по 3 палочки.

Этот процесс деления они отразят в записи: 26:=(20+6):2=20:2+6:2=10+3=13. (В сложных примерах сначала выполняется деление, а затем сложение.)

Для решения примеров вида 30: и 32: учащиеся должны уметь выделить в делимом число десятков, которое делится на заданное однозначное число без остатка, т.е.в указанных примерах разбить 30 на 20 и 10, 32—на 20 и 12.

Деление двузначного числа на двузначное включает случаи деления круглых десятков на круглые десятки (80:20) и случаи деления любого двузначного на любое двузначное 24:12, 42:14. Последние в свою очередь могут быть подразделены на 2 группы: к первой можно отнести те случаи, когда цифра частного отыскивается делением числа десятков делимого на число десятков делителя (24:12, 2 дес. : 1 дес.), ко второй группе относятся все прочие случаи, в которых цифра частного находится путем проб на основе внетабличного умножения (42:14=3, так как 14·3=42).

Такое подразделение случаев деления двузначного числа на двузначное целесообразно провести потому, что умение производить подбор цифры частного разными способами понадобится в дальнейшем при выполнении письменного деления на двузначное, а затем и на трехзначное число.

К первой группе случаев, когда цифра частного находится делением числа десятков делимого на число десятков делителя, относятся: все случаи деления на 11 без остатка; 24, 36, 48 разделить на 12; 26 и 39 разделить на 13; 28:14; многие случаи деления без остатка на 21, 22, 23, 24, на 31, 32, 33, 34, на 41, 42, 43, 44.

Деление круглых десятков на круглые десятки в методических пособиях рекомендуется рассматривать как деление по содержанию (например, сколько раз в 60 содержится по 30). В таком случае это деление сводится к делению однозначных чисел (6 дес. : 3 дес.) и позволяет ученику легко найти частное. Однако в дальнейшем, при делении многозначных чисел, деление на число с несколькими нулями придется рассматривать как деление на равные части и применять прием последовательного деления, основанный на правиле деления числа на произведение.

Поэтому полезно познакомить учащихся также и с истолкованием деления на круглые десятки как деления на равные части и с приемом последовательного деления.

При изучении случаев деления двузначного числа на двузначное, при решении которых частное может быть подобрано делением числа десятков делимого на число десятков делителя, можно мысленно отбросить единицы и рассматривать только десятки.

Виды упражнений для самостоятельной работы учащихся при прохождении внетабличного умножения и деления могут быть весьма разнообразны.

НАДО УКАЗЫВАТЬ ФИО АВТОРОВ. У КОТОРЫХ ЭТИ ЗЩАДАНИЯ ОЧЕНЬ ХОРОШО РАЗРАБОТАНЫ:

ЧЕБОТАРЕВСКАя Т.К………

НИКОЛАЕВА М.А…………..

МЕДВЕДСКАЯ и др.

СПОИСОК В ЧИТАЛЬНОМ ЗАЛЕ ИЛИ В АГАЗИНЕ «СВЕТОЧ»

ПРИМЕРЫ ИЗ ШКОЛЬНОЙ ПРАКТИКИ

НАПРИМЕР. Ош № 12 Завуч Людмила Николаевна С УСПЕХОМ ПРИМЕНЯЕТ РАЗНОУРОВНЕВЫЕ ЗАДАНМИЯ И ТЕСТЫ.

ЗАВУЧ ГИМНАЗИИ Г. МОЗЫРЯ ЩУР Л.Н. И ДР.

СТАРТЬСЯЗАПГШЯТЬ ПРОБЕЛЫ

2.3.Организация обучения решению текстовых задач с использованием разноуровневых заданий и тестов. ТОЧКИ НЕЛЬЗЯ ОТСТУПЫ НУЖНО

Подготовительная работа по конструированию теста

Эта работа выполняется по выделенным этапам. Диагностическое описание цели включает: определение необходимого уровня усвоения; выявление факта усвоения; измерение результатов тестом, его оценку [2],[16].

Выделяют следующие уровни усвоения:

1)на воспроизведение изученного, репродуктивный уровень;

2)на действия в известной ситуации, поисково-алгоритмический;

3)на действия в неизвестной ситуации, поисково-эвристический;

4)на действия в новой ситуации, исследовательский, творческий.

После определения цели осуществляется работа по планированию, проверке и применению теста: определение темы для проверки тестом; составление модели спецификации теста с указанием содержания и уровней усвоения каждого его элемента ответов на них; выбор форм тестовых заданий и структуры теста; составление тестов и заданий; экспертная проверка, опытная проверка теста; диагностика хода и качества усвоения материала темы входным, формирующим и тестированием; их интерпретация.

Формы учебных тестов и выбор их для исследования

Прежде чем обрабатывать результаты исследования, необходимо убедиться, объективно ли они получены, главным образом путем измерения.

Наиболее подходящим средством для измерения в педагогике и психологии является тест, стандартизированный и проверенный согласно критериям тестологии. Обычно тест состоит из 10-15 заданий (субтестов) с нарастающей трудностью. Тест—это задание стандартной формы, выполнение которого должно выявить наличие определенных знаний, умений и навыков или уровень развития учащегося [2], [49], [65].

Важное значение приобретают стандартизированные тесты. Они проверены профессионалами на объективность, чтобы результаты не зависели от личности составителя и условий их проведения, на валидность, чтобы они проверяли то, что хотят установить, на диагностическую ценность, чтобы был определенный разброс результатов, на реалиабельность, чтобы тесты при повторении давали приблизительно тот же результат, на репрезентативность, чтобы ответы давали полную картину знаний всех учащихся.

Пример теста для проверки знаний учащихся по решению проблемных задач

Тестовые задания требуют специальной проверки и упорядочения для конструирования теста с целью обеспечения объективности и информативности оценки уровня и качества подготовки обучаемого.

Задача учителя-исследователя состоит в выборе нужной формы, наиболее адекватной виду и содержанию, задачи. Примеры составления теста для задач на встречное движение предлагаются в схеме-задаче.

Пример теста «Задача»

1.Подчеркните условие задачи одной, а вопрос задачи—двумя чертами: Из двух городов, расстояние между которыми 600 км, одновременно в одном направлении вышли два автомобиля. Через сколько времени шедший со скоростью 90 км/ч автомобиль догонит автомобиль, движущийся со скоростью, составляющий 2/3 скорости предыдущего?

2.Допишите слова: Эта задача на…………………………..

3.Соедините нужные сова в столбцах стрелочками:

Предметная область 600км, 90 км/ч

Отношения задачи Составляющий 2/3 скорости предыдущего

автомобиля

Искомое значение Одновременно в одном направлении

Величины задачи Движение автомобилей между городами

Известные значения Скорость второго автомобиля,

разность скоростей

Неизвестные значения Скорость, время, расстояние

Время, за которое автомобиль догонит

второй

4.Сделайте чертеж задачи…………………..

5.Запишите рассуждения поиска решения задачи аналитическим способом с представлением схемы………………………….

6.Запишите рассуждения поиска решения задачи синтетическим способом с представлением схемы……………………………..

7.Запишите решение и ответ задачи……………………..

8.Запишите решение задачи другими способами…………………..

9.Сделайте проверку решения задачи……………………..

10.Составьте аналогичную задачу………………………

Например. «Из двух городов одновременно навстречу друг другу вышли два автомобиля. Скорость первого из них была 60 км/ч, что составляла 2/3 скорости второго автомобиля. Какое расстояние между городами, если автомобили встретились через 2 часа?»

Определение трудности и дискриминативности теста

Трудность является важнейшей характеристикой, с помощью которой задания допускаются в тест и размещаются в нем от легких к наиболее трудным, характеристика измеряется индексом трудности задания [65].

Дискриминативность определяется как способность отделять учащихся с высоким общим баллом по тестовому заданию от учащихся, которые получи более низкие баллы. Для этого учитываются результаты учащихся, наиболее и наименее успевающих: тех и других берут по 27 % от общего количества всех проверяемых.

К ним предъявляются следующие требования:

1.Каждое задание теста, исходя из трудности, должно иметь свой номер.

2.Все задания должны быть четко и кратко сформулированы, а выборочные ответы, кроме правильного ответа, должны содержать типичные ошибки.

3.все задания должны иметь эталон правильного ответа (ключ).

4.Ориентировочное время выполнения каждого задания 3-5 мин. Тест, рассчитанный на урок, должен содержать 10-15 заданий.

5.Должны быть определены вес трудности каждого задания теста и правила перевода полученной суммы баллов в школьные отметки.

6.К каждому тесту должна иметься инструкции по его выполнению.

7.Во время тестирования поддерживается благоприятная обстановка.

7.1. Ни одному ученику не отдавать предпочтения.

7.2. Иметь систему подсчета баллов и их сведения.

7.3. В разных классах тестирование проводить по одним и тем же тестам в одно и то же время и в сходных условиях.

7.4. Учащиеся должны быть приблизительно одинаковыми по мотивации.

7.5. Создавать испытуемым атмосферу, благоприятную для самостоятельного выполнения заданий теста без подсказок, оказания помощи, подслушивания и подсматривания.

Рекомендуется задания в тесте размещать по нарастанию трудности. Для этого используют проверку тестовых заданий на репрезентативных выборках обучаемых с применением традиционной или современной теории создания тестов и математико-статистических методов [66].

ГДЕ ЖЕ ЭКСПЕРМЕНТАЛЬНЫЕ ВЫВОДЫ ?

ЧТО УЛУЧШИЛОСЬ? ЧТО УХУДШИЛОСЬ?ЧТО НУЖНО СОВЕР0-ШЕНСТВОВАТЬ? ИСПОЛЬЗУЙТЕ МАТЕРИАЛ ПРЕДЫДУЩИХ ЛЕТ

ЗАГОТОВЬТЕ ТЕСТЫ И КАРТОЧКИ

ВПИШИТЕ фио СВОИХ УЧЕНИКОВ

Сделайте графики и таблицы

РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

Для исследования мы выбрали один из планов эксперимента с одной переменной, предложенных Д. Кэмбеллом, Случайным образом мы выбрали два класса, один из которых стал экспериментальным, а другой контрольным. Затем уравняли исследуемых в каждом классе по существенному для эксперимента фактору путём попарного выбора учеников из экспериментального и контрольного классов с одинаковыми показателями (по результатам предварительного тестирования. Создали в каждом классе эквивалентные (уравненные между собой) группы: в экспериментальном классе -- экспериментальная группа …. испытуемых), и в контрольном классе — контрольная группа( …. учащихся). Разумеется не каждому ученику можно подобрать пару. Такие ученики участвовали в исследовании, однако результаты их работы не учитываются при контрольных проверках.

В дальнейшем в экспериментальном классе проводилось обучение с использованием нового фактора, а в контрольном - без него. В экспериментальной и контрольной группах проводилось:

1) предварительное и итоговое тестирование:

1. умения правильно осуществлять выбор арифметического действия в решении задач в прямой и косвенной форме;

2. умения выполнять логические отношения на умение делать умозаключения на основе логических отношений;

2) анкетирование интереса к решению задач на основе поиска с применением приёмов и планов ПДУ;

3) статистическая обработка результатов с применением критериев знаков и Стьюдента для независимых и зависимых выборок.

Выдвинутая гипотеза подтвердилась так как:

1) различие двукратного тестирования в начале и конце эксперимента экспериментального класса по правильному выбору действия в поиске решения задач в прямой и косвенной форме; получено более 95% достоверности различия;

2) различие двукратного тестирования в начале и конце эксперимента контрольного класса менее 95% достоверности;

3. различие итогового тестирования в экспериментальном и контрольном классах более 95% достоверности;

4. различие итогового тестирования в экспериментальном и контрольном классах более 95% достоверности.

Наконец осуществлялась статистическая обработка результатов предварительного и итогового решения задач только тех испытуемых, которые входили в контрольную и экспериментальную группы по одному из простейших критериев статистики по знаковому критерию Z для испытуемых одной и той же группы.

После обработки результатов было доказано, что экспериментальная гипотеза подтвердилась. Результаты предварительного и итогового тестирования обрабатывались методами математической статистики. Эксперимент оправдался и гипотеза подтверждена при трёх условиях:

1) существенно отличаются, значимы различия результатов предварительного и итогового тестирования экспериментальной группы;

2) существенно отличаются, значимы различия результатов итогового тестирования экспериментальной и контрольной групп;

3) незначимы различия результатов предварительного и итогового тестирования контрольной группы.

Сравнение начального и конечного результатов в экспериментальной группе

Таблица 1

№ п/п	Х	У	У – Х= =d	(У­ Х)2= =d2	Это распределения, близкие к нормаль-ным со степенями свободы п-1= 15-1=14. Критические значения для достоверности различия: 95%-- 2,10; 99% --2,88 . =3,8 Так как полученное значение =3,8 намного больше табличного 2,88 для достоверности различия между распределениями в 99%, то в экспериментальной группе результаты существенно улучшились c достоверностью .99 %.. Этот показатель вполне подходит для истинного эксперимента по рекомендации специалистов по теории и практике проведения современного психолого-педагогического эксперимента.
1	7	8	+1	1
2	5	6	+1	1
3	6	7	+1	1
4	7	8	+1	1
5	7	7	0	0
6	6	8	+2	4
7	7	7	0	0
8	6	8	+2	4
9	4	5	+1	1

№ п/п	Х	У	У – Х= =d	(У­ Х)2= =d2	Это распределения, близкие к нормаль-ным со степенями свободы п-1= 15-1=14. Критические значения для достоверности различия: 95%-- 2,10; 99% --2,88 . =3,8 Так как полученное значение =3,8 намного больше табличного 2,88 для достоверности различия между распределениями в 99%, то в экспериментальной группе результаты существенно улучшились c достоверностью .99 %.. Этот показатель вполне подходит для истинного эксперимента по рекомендации специалистов по теории и практике проведения современного психолого-педагогического эксперимента.
1	7	8	+1	1
2	5	6	+1	1
3	6	7	+1	1
4	7	8	+1	1
5	7	7	0	0
6	6	8	+2	4
7	7	7	0	0
8	6	8	+2	4
9	4	5	+1	1
10	7	8	+1	1
11	5	6	+1	1
12	5	6	+1	1
13	5	6	+1	1
14	5	7	+2	4
15	6	7	+1	1
			16	22

Прежде всего для корректного применения параметрического критерия Стьюдента для проверки статистических гипотез на основе зависимых выборок они были исследованы на достаточное приближение к нормальному распределению и достаточность объёма..

Использована таблица критических значений для 14 степеней свободы.

Результат примененной формулы 3,8 намного превосходит табличный для необходимой 95- процентной достоверности различия конечного и начального результата. Различие между конечным и начальным результатом тестирования существенное, так как число 3,8 больше табличного числа 2,88, чтл является индикаторосм достоверности различия в 99 %.

Таблица 2 Сравнение начального и конечного результатов в контрольной группе

№ п/п	Х	У	У – Х =d	(У – Х)2=d2	Степеней свободы п-1= = 15-1=14 Критические значения для достоверности различия 95%-- 2,1; Так как =2,0 меньше табличного 2,1 для достоверности различия между распределениями в 95%, то в контрольной группе получено несущественное увеличение среднего балла.
1	5	6	+1	1
2	4	5	+1	1
3	7	7	0	0
4	7	7	0	0
5	5	6	+1	1
6	5	6	+1	1
7	5	4	-1	1
8	6	6	0	0
9	5	6	+1	1
10	8	8	0	0
11	5	6	+1	1
12	6	6	0	0
13	6	6	0	0
14	6	7	+1	1
15	6	6	0	0
			6	8

Распределение начального и конечного результатов применяемые выборки близко к нормальному распределению и достаточного объёма..

Использована таблица критических значений для 14 степеней свободы.

Результат примененной формулы 2 несколько ниже табличного 2 для необходимой 95- процентной достоверности различия конечного и начального результата. Различие между конечным и начальным результатом тестирования несущественное

Таблица 3. Сравнение итоговых результатов экспериментальной и контрольной групп

№	Xi	Yi	Xi ­	Yi ­	( Xi- )2	(Yi ­ )2	Итоговые средние арифметические баллов Х= 6,4 -контрольной и экспериментальной группы У= 6,9 Дисперсии соответст-венно равны : σ2= 0,79 и σ2=0,95 Степеней свободы: 20+20-2+2=38. Критическое значение для достоверности различия 99%- 2,75 Коэффициент Стьюдента = ≈ 2,82 больше табличного 2,75. Имеется существенное различие в итоговых результатах между экспериментальной и контрольной группами с достоверностью 99%
1	6	8	-0,2	+0,9	0,04	0,81
2	5	6	-1,2	-1,1	1,44	1,21
3	7	7	+0,8	-0,1	0,64	0,01
4	7	8	+0,8	+0,9	0,64	0,81
5	6	7	-0,2	-0,1	0,04	0,01
6	6	8	-0,2	+0,9	0,04	0,81
7	4	7	-2,2	-0,1	3.24	0,01
8	6	8	-0,2	+0,9	0,04	0,81
9	6	5	-0,2	-2,1	0,04	4,41
10	8	8	+1,8	+0,9	3.24	0,81
11	6	6	+0,2	-1,1	0,04	1,21
12	6	6	-0,2	-1,1	0,04	1,21
13	6	6	-0,2	-1,1	0,04	1,21
14	5	7	-1,2	-0,1	1,44	0,01
15	6	7	-0.2	-0,1	0,04	0,01
	96: 15= =6,4	104: 15= =6,9			11:14= = 0,79	13,35:14=0,95