Глава 2. Организация обучения математике с использованием разноуровневых заданий и тестов во втором классе. Точки нельзя отступы нужно

2.1.Организация обучения табличному умножению и делению, соответствующим случаям вычисления с использованием разноуровневых заданий и тестов. ТОЧКИ НЕЛЬЗЯ ОТСТУПЫ НУЖНО

Методика введения новых понятий в школе должна базироваться на научной теории соответствующего предмета. В теории умножения возможны три способа введения этого понятия: с помощью системы аксиом, на основе операций над множествами, на основе сложения одинаковых слагаемых.

1. С помощью системы аксиом дается «индуктивное» определение произведения аb =аb + а, где в непосредственно следует за числом b и а · 1= а. Тогда при использовании предыдущих результатов порядок вычисления произведенияследующий:

2·1=2 3·1=3

2·2=2·1+2=4 3·2=3·1+3=6

2·3=2·2+2=6 3·3=3·2+3=9

2·4=2·3+2=8 3·4=3·3+3=12

и т.д. и т.д.

2.На основе операции сочетания элементов множеств (операция сочетания элементов множеств понимается как составление всех пар элементов по одному из каждого множества: на первом месте из одного множества, на втором—из другого) дается такое определение:

За произведение натуральных чисел а и в принимается натуральное число с, выражающее численность множества С, полученного от сочетания элементов двух множеств А и В, численность которых равна соответственно а и b.

Например: А={m, n, p k} с численностью а=4

и В= {l, f} с численностью в=2.

Все сочетания элементов этих множеств по два и дадут новое множество С.

С={(ml), (nl), (pl), (kl),(mf), (nf),(pf),(kf)}), численность которого с=8.

Итак, а·b=с,4·2=8.

3.На основе вычисления суммы одинаковых слагаемых произведение определяется так:

«Произведение натурального числа а на 1 называется само число а: произведением а на натуральное число b, большее 1,называется сумма b слагаемых, каждое из которых равно а; число а называется множимым, число b—множителем».

Тогда операцию нахождения произведения по известным множимому и множителю и называют действием умножения

а·b=а+а+а+…+а .

в раз

Например: 5·3=5+5+5=15; 5·3=15.

Формирование понятия действия умножения обычно начинают с выполнения операций соединения множеств с одинаковым числом элементов в каждом из них и соответствующей записи с помощью действия сложения.

Например, 2+2+2+2=8

3+3+3+3+3=15

6+6+6=18

Обращается внимание детей на особенность—равенство всех слагаемых при сложении. Так, число «два» взяли слагаемым 4 раза, число «три»—5 раз, число «шесть»—3 раза.

этот особый случай сложения и принято называть умножением, при этом вводится краткая запись нового действия 3·5=15 и чтение «три умножить на пять», или «по три взять пять раз». Для формирования понятия о новом действии необходимо показать использование особого приема вычисления, основанного на применение таблиц умножения (например, использование таблиц для случаев внетабличного умножения и случаев письменного умножения).

Учитель должен сообщить детям, что знак «·» обозначает «умножить» (знак действия умножения), на первом месте пишется число, которое берется слагаемым в сумме, а на втором—число, которое показывает, сколько таких слагаемых взято (надо взять).

В дальнейшем возможен следующий порядок работы.

1. Решить действием сложения несколько задач и, обратив внимание на нахождение суммы одинаковых слагаемых, использовать введенную краткую запись и ее чтение.

Например, а) Лена сорвала 4 яблока, Коля и Нина сорвала тоже по 4 яблока. Сколько всего яблок сорвали дети? (Используются наглядные пособия)

4+4+4=12; 4·3=12.

б) В коробке лежат 2 желтых, 2 красных, 2 синих и 2 зеленых шарика. Сколько всего шариков?

2+2+2+2=8; 2·4=8.

в) В одном ряду прямоугольника 5 клеток. Сколько клеток в 6 рядах прямоугольника?

5+5+5+5+5+5=30; 5·6=30.

2.Предложить детям набрать по 2 кружка 3 раза, 4 раза, 5 раз (по 3 палочки—2 раза, 4 раза, 6 раз) и записать эти операции с помощью действий сожжения и умножения.

2+2+2=6 2·3=6

2+2+2+2+2=10 2·5=10

3+3=6 3·2=6

3+3+3+3+3+3=18 3·6=18

На первых порах обучают двоякому чтению; «по 2 взять 5 раз, получится 10» и «два умножить на пять, получится десять».

3.Записать нужные действия, наблюдая, как учитель откладывает косточки на счетах, предметы (одинаковые) на наборном полотне, делает зарисовки или графические иллюстрации на доске.

Например:

()()() ()()() ()()() ()()()

«По 3 взять 4 раза».

3+3+3+3=12 3·4=12

Обращать внимание каждый раз на то, какие слагаемые складываются, сколько их, что значит при записи первое число, второе число.

4.Применять упражнения вида:

а) умножение заменить сложением и вычислить результат;

б) сумму одинаковых слагаемых записать с помощью умножения и сравнить результаты;

в) показать на примерах и задачах не только связь между действиями умножения и сложения, но и их различие.

Например:1)На каждой странице альбома наклеено по 4 картинки. Сколько картинок на 5 страницах?

4 кар.+4 кар.+4 кар.+4 кар.+4 кар.=20 кар.;

4·5=20 (кар.)

2)На первой странице альбома наклеено 4 картинки, на второй 5. Сколько наклеено всего картинок?

4+5=9 (кар.)

На первых порах, в ходе всей работы, уделять особое внимание различению роли (функций) множимого и множителя. У нас принято записывать множитель на втором месте. Множимое часто имеет какое-то наименование (название предметов, единицы измерения и т.д.), множитель—всегда отвлеченное число, показывающее, сколько раз повторить слагаемым множимое.

Термины «множимое», «множитель» в таком случае будут ясны детям и не вызовут затруднений при запоминании, термин «произведение» придется просто заучить.

Истолкованию числа (множителя) как характеристики действия, которое надо произвести над каким-либо объектом, могут способствовать упражнения:

1. Счет группами или двойной счет. Если при простом счете устанавливается соответствие между элементами данного множества и начальным отрезком натурального ряда чисел

0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 и т.д.,

то при двойном счете устанавливается соответствие между новой единицей счета (более крупной) и натуральным рядом. Например, «Считай по 2 четыре раза».

Требуется выполнить два счета:

а) от 1 до 2 и

б) нумеровать число двоек.

1,2 3,4 5,6 7,8;

1,2, 1,2, 1,2, 1,2;

1 раз, 2 раза, 3 раза, 4 раза.

2·4=8.

Аналогичные операции приходится выполнять и при счете группами. Например: «Считай тройками».

Ведется счет от 1 до 3 и называется соответствующее (третье по счету) число натурального ряда.

1,2,3 4,5,6, 7,8,9, 10,11,12 и т.д.

3, 6, 9, 12 и т.д.

Если пронумеровать число таких точек, то произведение 18 получено счетом 6 раз по 3: 3·6=18.

2. Работа с арифметической линейкой (можно использовать обычную линейку 25 см).

Приготовить мерки (полоски бумаги) по 2, 3, 4, 5 и т.д.см, которые затем можно использовать для нахождения произведения путем откладывания на линейке нужной полоски заданное число раз.

Такая система работы будет одновременно хорошей подготовкой и к составлению таблиц, и к изучению свойств умножения.

Термин «сомножители» должен быть сообщен ученикам перед изучением переместительного свойства умножения, т.е.после усвоения понятия о действии умножения.

В методике установилась система раздельного введения первоначальных понятий умножения и деления.

В теории математики деление вводится как действие, обратное умножению. Это операция нахождения одного из сомножителей по данному (известному) произведению и второму сомножителю. Такой путь введения нового понятия в начальной школе труден для усвоения смысла действия деления, и деление вводят независимо от умножения на основе операций над предметными множествами. Различают две операции: деление на равные части и деление по содержанию (различная роль множимого и множителя порождает различные виды деления).

Можно ознакомить детей сначала с делением по содержанию, а затем с делением на равные части. Возможен и обратный порядок. Наиболее установившийся в методике порядок—начинать с изучения деления на равные части, потом изучать деление по содержанию. В новом учебнике предполагается сначала знакомство с делением по содержанию, затем делением на равные части, обобщением обоих видов деления, позднее с определением деления как действия, обратного умножению.

Введению понятия деления на части (оформлению записи и чтению) могут предшествовать простые задания: разделить (раздать) 2 яблока двум детям, 3 мяча—трем девочкам и др. Обычно такие задания не вызывают затруднения и ответы даются устно без выполнения самой операции.

Следующее задание: разделить на 2,3,4 равные части имеющиеся в наличии предметы. Учитель просит одного из учеников разложить все данные игрушки в три коробочки. Он должен сразу взять столько игрушек, сколько видит коробок (мысленно установив взаимно однозначное соответствие), положить в каждую коробочку по одной игрушке, разложить таким образом все игрушки. Обратить внимание детей на прием деления—раскладывание по одному.

Система вопросов, поставленных перед учащимися в беседе, поможет выявить словесную формулировку нового действия. Например: «Надо разделить 6 тетрадей поровну 2 ученикам».

1. Сколько тетрадей надо разделить?

2. На сколько равных частей? (2 части—2 ученикам.)

3. Сколько предметов надо взять сразу, чтобы разложить их по 1 в каждую часть? (2 тетради.)

4. Сколько тетрадей получилось в каждой части у одного ученика? (3 тетради.)

5. На какие разделили части? (Равные.)

Значит, 6 тетрадей разделили на 3 равные части, получили по 2 тетради в каждой. Введем сокращенную запись этого действия:

6 тет.:2=3 тет., или 6:2=3 (тет.).

В рассмотренном случае дети видели и число предметов, которое надо делить, и число частей (раздать 2 ученикам). На следующем этапе задание усложняют, дают детям предметы, которые надо разделить на 2,3 равные части, а части задаются числом.

Индивидуализировать обучение во могут помочь внедряемые в учебный процеес ПЭВМ в виде планшетников и интерактивные доски, позволяющие проводить тотальный и оперативный мониторинг учебного процесса от начала до конца как со стороны ученика (батареи разноуровневых заданий и тестов в планшетнике), так и учителя (батареи диагностических тестов и коррекционные заданий к ним ) В случае затруднений при выполнении задания, которые оперативновыясняются, обучаемому оказывается должная и действенная помощь в виде эвристических средств, не назойливо наводящих на правильный путь выполнения задания.