23. Автокорреляция в уравнениях множественной регрессии, признаки ее наличия и последствия. Оценка параметров уравнения множественной регрессии с автокоррелированными остатками. (25 баллов)

Автокорреляция остатков определяется как корреляция между соседними значениями случайных отклонений во времени (временные ряды) или в пространстве (перекрестные данные). Автокорреляция чаще всего встречается при анализе данных временного ряда, т.е. в случаях, когда выборка данных имеет упорядоченный вид и при анализе процессов, имеющих циклический характер.

В экономических задачах значительно чаще встречается положительная автокорреляция , чем отрицательная автокорреляция . Здесь - случайное отклонение.

Положительная автокорреляция вызывается направленным постоянным воздействием некоторых не учтенных в регрессии факторов. Например, при исследовании спроса у на прохладительные напитки в зависимости от дохода х на трендовую зависимость накладываются изменения спроса в летние и зимние периоды.

Отрицательная автокорреляция фактически означает, что за положительным отклонением следует отрицательное и наоборот. Такая ситуация может иметь место, если ту же зависимость между спросом на прохладительные напитки и доходами рассматривать не ежемесячно, а раз в сезон (зима–лето).

Применение МНК к данным, имеющим автокорреляцию в остатках, приводит к таким последствиям:

1. Оценки параметров, оставаясь линейными и несмещенными, перестают быть эффективными. Они перестают быть наилучшими линейными несмещенными оценками.

2. Дисперсии оценок являются смещенными. Часто дисперсии, вычисляемые по стандартным формулам, являются заниженными, что влечет за собой увеличение t-статистик. Это может привести к признанию статистически значимыми факторов, которые в действительности таковыми не являются.

3. Оценка дисперсии регрессии является смещенной оценкой истинного значения , во многих случаях занижая его.

4. Выводы по t- и F-статистикам, возможно, будут неверными, что ухудшает прогнозные качества модели.

Автокорреляция приводит к завышению стандартных ошибок параметров, поэтому может быть сделан ошибочный вывод о несущественном влиянии какого-то фактора на результат.

Оценивание параметров моделей с автокоррелированными остатками.

Если имеется автокорреляция возмущений, то для оценки параметров модели используют другой частный случай обобщенного метода наименьших квадратов. Пусть по временным рядам переменных X и Y строится множественная линейная модель при , уравнение регрессии которой имеет вид при ,

где b₀, b_1, b_t — оценки параметров ₀, _1, _t соответственно.

Первоначально исходные переменные и свободный член b₀ уравнения регрессии преобразуются с помощью формул: , , ,

где , r₍₁₎ — коэффициент автокорреляции остатков первого порядка,

В результате уравнение трансформируется в уравнение ,

параметры которого определяются обычным МНК. После этого рассчитывается свободный член b₀ исходного уравнения по формуле .

24. Ковариация и коэффициент корреляции двух случайных переменных. (15 баллов)

Ковариацией называется константа , определенная по правилу .

Свойства математического ожидания позволяют представить и так: , где .

Из формулы видно, что для вычисления нужно знать закон распределения пары . Если он неизвестен, то ковариацию можно оценить по выборке из генеральной совокупности :

.

Оценкой ковариации служит величина: , именуемая выборочной ковариацией. Эта оценка обладает свойством несмещенности: .

Смещенная оценка ковариации выглядит следующим образом: .

Можно показать, что если - независимые случайные переменные, то . Если же , то - непременно зависимые случайные переменные. При этом когда , то с ростом x увеличивается и y; если же , то при возрастании x переменная y уменьшается. По этой причине в первом случае ( ) говорят об отсутствии линейной связи между x и y; во втором случае ( ) говорят о прямой (положительной) связи; при говорят об обратной (отрицательной) связи x и y.

Отметим, что размерность равна произведению значений размерности случайных переменных x и y. Часто удобно использовать безразмерную (нормированную) ковариацию : . Константа именуется еще коэффициентом корреляции.

Эта константа всегда находится в промежутке , причем если , то . Так что при между переменными x и y существует функциональная линейная зависимость. Если же , то связь между переменными x и y либо вообще отсутствует, либо же имеет место нелинейная зависимость.

Выборочное значение коэффициента корреляции (оценка) вычисляется по формуле: , где - оценки констант соответственно , определяемые по правилу .