3.3. Модель оптимального сбора урожая

Следует четко разграничивать понятия «урожай» и «продуктивность». Урожай — это та часть биомассы, которая изымаете из популяции. Продуктивность же определяется как разность между биомассой популяции в данный и в некоторый предшествующий моменты времени. Как урожай, так и продуктивность могут измеряться числом особей или в весовых единицах.

Оптимальная величина урожая — это максимальный урожай, который может быть изъят у популяции без нарушения ее способности компенсировать путем размножения потерянную при сборе урожая биомассу. У большинства видов оптимальная величина урожая непрерывно меняется в зависимости от погоды, местных факторов, интенсивности межвидовой борьбы или хищничества, а также под влиянием болезней и различных внутренних факторов (зависящих от плотности).

Рассмотрим задачу оптимизации сбора урожая для локальной однородной популяции, описываемой моделью Ферхюльста.

Локальность означает, что популяция рассматривается в одной точке пространства, т. е. численность популяции совпадает с ее плотностью. Однородность предполагает, что все особи в популяции одинаковы (неразличимы), т. е. деление на половые, возраст­ные и т. п. группы не учитывается.

Модель имеет следующий вид:

dN/dt = αN—γN², (3.3.1)

где N — численность особей в популяции в момент времени t; α - коэффициент естественного прироста численности особей; γ - коэффициент внутрипопуляционной конкуренции. При малых значениях N dN/dt~aN, и популяция растет по экспоненциальному закону N (t) = N (О)e^αt. С увеличением численности ее прирост уменьшается пропорционально квадрату численности, соответствующему числу встреч между особями. Формулу (3.3.1) можно переписать в виде

dN/dt = αN(l—γN/α) = αN(l—N/K). (3.3.2)

Величина K = α/γ называется емкостью среды; это предельное значение численности популяции, которое может существовать в данных условиях среды. Решение уравнения (3.3.2) имеет вид

N(t)=KN(0)/(N(0) + (К—N(0))e^-αt) = αN(0) e^-αt /(α + γN(0) (e^-αt —1)). (3.3.3)

График решения уравнения (3.3.2) называется логистической кривои (рис. 5).

Пусть в популяции, описываемой этой моделью, производится сбор урожая путем отбора части биомассы и выведения ее из репродукционного цикла. Процесс сбора урожая предполагается дискретным по времени с равными временными интервалами.

Ставится задача об оптимальном управлении данной системой производства биомассы, т. е. об определении величины собираемой на каждом шаге биомассы и величины шага между двумя последовательными сборами при условии, чтобы суммарный урожай, собранный за фиксированный отрезок времени [0, Т], был максима­ми. В конечный момент времени Т процесс прекращается путем полного отбора биомассы.

Отрезок времени [0, Т] делится на п равных частей точками

Рис. 5. График логистической кривой

ti = h, 2h,...,nh = Т, и на каждом шаге величина собираемого урожая (функция дохода) определяется как

g, = ki , i=l,~, п, (3.3.4)

где индексом (—) обозначено состояние системы в момент сбор урожая слева от t„ а индексом (+) —справа от ti. Справедливj соотношение

Ni+ = (1—ki)Ni-, (3.3.5)

где величины ki [О, 1], выбираемые на каждом шаге, рассматрГ ваются как возможные управления, определяющие для данного с стояния системы Nr величину собираемого урожая.

Процесс его сбора рассматривается как многошаговый процесс функцией состояния fi(N), равной величине собранного за i шагов урожая при условии, что на предшествующих шагах использовались оптимальные управления. Тогда задача заключается в максимизации дохода

(3.3.6)

Задачу решают методом динамического программирования.

N>a(λ^l/2+l)^-1/γ (3.3.10)

Анализ модели показывает, что если условие (3.3.10) не выполняется на каком-либо шаге, то можно показать, что если на i-м шаге условие (3.3.10) выполнено, то оно будет выполнено и для любого j-гo шага, j > i (если управления выбираются оптимальными).

Поэтому условие (3.3.10) может не выполняться только на каких-либо I начальных шагах процесса. Тогда на этих I шагах управление должно быть нулевым (к = 0) до тех пор, пока на (1 + 1)-м шаге не будет выполнено (3.3.10). Число I зависит выбора N(0) и h и определяется как

I=entier x(∆T/h) + l,

где entier(x) — целая часть х, ∆T — корень уравнения

α/[γ(e^ah/2 - 1)] = αN (0) e^α∆T/[α + γN(0) (е^α∆Т-1)].

Таким образом, при значениях численности популяции ниже некоторого уровня, определяемого неравенством (3.3.10), сбор урожая вообще нецелесообразен. Суммарная величина его зависит от величины шага процесса и достигает максимума при непрерывном сборе.