11.4. Байесовская оценка средних потерь

Потребитель располагает достаточно объективной метеорологи­ческой и экономической информацией, чтобы принимаемые им оперативные и стратегические решения достигали цели. Использо­вание экономической информации выражается в том, что действия потребителя d_jt ориентированные на погоду Ф₍, приведут к резуль­тату в виде полезности (G,_;). Известная функция полезности (10.2) может быть представлена в дискретном матричном виде. Это может быть матрица выгоды ||g,₇|| или матрица потерь ||s_(>||, что рассматри­валось в п. 10.4.

В подавляющем большинстве хозяйственных ситуаций потреби­тель все больше озабочен потерями по метеорологическим причи­нам. Это характерно для всех отраслей производства. Однако в те­кущей хозяйственной практике потребитель может извлечь выгоду, если погода способствует выполнению плановых работ. Последнее обстоятельство рассматривается в качестве обычного условия, и, как правило, этому не уделяется особого внимания. В свою очередь уве­личение с годами потерь за счет опасных условий погоды (см. п. 11.1) свидетельствует о необходимости рассматривать функцию полезности через функцию потерь. Запишем последнюю в виде матрицы потерь в самом простом виде, когда потребитель принима­ет кардинальные меры защиты (е = 0) (см. формулу (10.10))^fs s ^{Л Й}11 12

С L С 0

4^S21 ^S22 Л=0

Л=о

Типичной является ситуация, когда потребитель принимает решение в соответствии с ожидаемой погодой /7_; Потребитель при этом будет выбирать такой прогностический подход, который наи­лучшим образом отвечает выполнению его хозяйственной задачи. Известно, что большинство потребителей в различных отраслях производства используют в основном прогнозы, разрабатываемые

в прогностических подразделениях Росгидромета. Эти прогнозы рас­сматриваются как методические и в то же время как официальные.

Вместе с тем такого рода метеорологические прогнозы могут разрабатываться несколькими учреждениями, включая коммерче­ские (в пункте, в районе), имеющими лицензии Росгидромета. По­требитель может выбрать более предпочтительную для него прогно­стическую информацию. Это одно из возможных направлений вы­бора лучшей стратегии.

Кроме того, наряду с методическими прогнозами можно вы­брать и иные прогнозы, разработка которых не требует глубокого физического обоснования. Это могут быть инерционные прогнозы, в основе которых лежит информация об исходной погоде, или про­гнозы по местным признакам и другие подходы вплоть до случай­ных прогнозов.

Вместе с тем потребитель вправе выбрать для осуществления сво­их целей такой метод прогнозирования явления погоды, который позволяет минимизировать потери по метеорологическим причинам.

Методические и неметодические прогнозы обобщаются в виде матриц сопряженности, что позволяет установить повторяемость (которую мы можем допускать как вероятность) осуществления от­дельных фаз погоды: p_tj = р(Ф_г, i7_;).

Итак, потребитель располагает экономической информацией о возможных последствиях своего поведения и метеорологической информацией, которая представляется рядом матриц сопряженно­сти прогнозов, разрабатываемых на основании некоторых методов. Обобщение этих прогнозов представим в табл. 11.4.

Таблица 11.4 Обобщенное представление прогностической информации Методические и неметодические прогнозы		Методические прогнозы, разрабатываемые различными методами
IKIL NIL	■HWHWI	метод А \\п:, II Им метод Ввй II 4 Им	■НЫ1НЫ1
IKIL		метод К ге,, II ' Им

Совместные (p_tj) и условные (q_tj) вероятности позволяют перейти к оценке средних потерь R, которые может нести потребитель при оперативном и стратегическом выборе ориентации на те или иные прогнозы:

R =R[s(<P,d),p(<P,II)]. (11.14)

Если потребитель постоянно доверяет тем или иным прогнозам, то число его действий d_jt отвечающих содержанию прогноза, будет соответствовать числу текстов прогнозов П_г Следовательно, обе мат­рицы у и jjРij JJ будут иметь одинаковый размер п (строк) X т (столбцов).

Байесовский подход к оценке средних потерь состоит в том, что получаемые средние имеют статистическое (вероятностное) содер­жание. Они рассматриваются на основании условных вероятностей q_ijt определяемых формулой Байеса.

(11.15)

Рассмотрим действия потребителя, использующего альтерна­тивные прогнозы, матрица сопряженности которых содержит ус­ловные вероятности

	п	П
ф	Яп	Ях2
ф	Я21	Я22
	1	1

(Я,) =

Получив прогноз П — явление ожидается — потребитель при­нимает решение доверять ему. В этом случае средние потери, отве­чающие таким ситуациям, будут равны

R_n = s_n

?U+^S21<?21- (11.16)

В случае недоверия данному тексту прогноза средние потери со­ставят

^21 =«12?11 +«22?21- (11.17)

В случае прогноза П — явление не ожидается — потребитель опять-таки вправе выбрать любое решение. Недоверие тексту при­водит к средним потерям

^12 ^{= S}ll?12 ^{+ S}21 q₂₂. (11.18)

Наоборот, доверие ему выражается средними потерями

(11.19)

■^22 ⁼ ®12?12 ^{+ S}22?22'

Приведенный алгоритм действий потребителя можно предста­вить в виде произведения двух матриц:

(11.20)

где индекс k относится к перебору потребителем действий d_k при заданном тексте прогноза Пу.

(11.21)

(11.22)

(11.23')

Одна из матриц в (11.20) является транспонированной. С учетом дискретности прогностической информации и порядка матрицы средние систематические потери определяются формулой

Ду = ЁЗДу

Установленные формулами (11.16)—(11.19) элементы матрицы систематических потерь обобщаются в виде

	П	П
d	Rn	^12
d	R21	■^22

-Я*; -

Стратегия полного доверия прогнозам отвечает условиям

R_u < Я₁₂

и

Д₂2 ^ -^21 •

Отсюда получаем, что средние потери при стратегии доверия бу­дут равны

(11.23)

Безотносительно к стратегии доверия средние потери при опти­мальных решениях определяются по формуле

Дмо =ЁРо; ^{мин R}kj(ⁿi)-

У-i

При альтернативных прогнозах условие R^illj) определяется двумя величинами средних потерь при текстах П и П :

Дц ^{= S}ll<7ll ^{+ S}21?21

■^22 ~~ ^S12^<ll2 + ®22^?22 * Выражая p_0j и q_tj через n_ijy запишем

- + So

N

■"01 у

•-02 У

^м N

(11.24)

TV

N

N

■ Si i — h S<j

iS

T

Учитывая приведенный алгоритм (11.21)—(11.24), запишем фор­мулу для определения средних (в статистическом смысле) потерь:

(11.25)

!=1;=1

Отсюда для альтернативных условий прогнозирования, при полном доверии прогнозам и кардинальных мерах защиты, соглас­но (11.24) получим

Д_М ~ ^SllPll +^S2lP21 ^{+ S}12.Pl2 + ^S22-P22'

Формулу (11.24) или (11.26) можно записать иначе, используя час­тоты Пц матрицы сопряженности

К — pj(^SUⁿU ^{+ S}2\ⁿ21 ^{+ S}l2ⁿi2 ^JrS22ⁿ22)-

Средние потери, выраженные формулами (11.25) и (11.27), на­зываются байесовскими средними потерями (средними в статисти­ческом смысле или просто вероятностными), поскольку в основе их лежит использование условных вероятностей g_ti.

Аналогично определяются средние потери и в том случае, если потребитель рассчитывает на текущую погоду (инерционный про­гноз) или на случайный ход метеорологических условий по прин­ципу: как сложится, так и будет.

(11.26)

(11.27)

Л

N

(11.28)

Тогда при использовании инерционных прогнозов можно записат

ь

Величина средних потерь при использовании случайных про­гнозов составит

(11.29)

Заметим, что в уравнениях (11.27)—(11.29), отвечающих карди­нальным мерам защиты (в = 0), не вносятся уточнения относитель­но условия <2(77) - Ф, при котором возможные потери s₁₂ = L полно­стью предотвращаются. Иначе, в первой ячейке матрицы потерь (10.10) наряду с величиной s_n должна быть еще величина -s₁₂ = -L. Это уточнение будет рассмотрено ниже.

Расчет средней выгоды использования прогнозов выполняется по формуле

n т

(11.30)

i=l 1=1

Средние потери и средние выгоды при байесовском подходе на­ходятся для любой дискретности прогнозов и регламента действий потребителя. Для этой цели используется многофазовая матрица потерь вида, приведенного в табл. 10.5.