Теоретические и методические основы использования метеорологических прогнозов

Глава 8

ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕРЫ СТАТИСТИКИ ПРИРОДНЫХ УСЛОВИЙ

8.1. Элементы статистического анализа

Задачи, решаемые в экономической метеорологии, в значитель­ной степени базируются на научных разработках, известных в при­кладной статистике. Численным статистическим оценкам пред­шествует сбор необходимого представительного объема, сведе­ний — данных наблюдений, относящихся к области метеорологии, экономики или к социальной сфере.

В зависимости от решаемой задачи требуется определенная сис­тематизация статистического материала, удобная для его представ­ления и обработки. Главное состоит в выборе математического ме­тода и модели решения задачи.

Особое внимание уделяется постановке статистической задачи. Это позволяет более верно упорядочить статистические данные од­номерного или двумерного эмпирического распределения.

Статистические данные могут быть представлены в табличном или графическом виде. Более полный анализ их можно получить на основании комбинированной группировки данных.

Статистический анализ предполагает оценку основных стати­стик, выражающих полную характеристику одномерного или мно­гомерного распределения выбранной случайной величины.

Ряд распределения случайной величины обладает свойствами, численными характеристиками которых являются так называемые статистики: среднее, или средневзвешенное, значение; среднее квадратнческое (или дисперсия); степень косости и степень крутости кривой распределения. Наряду с этим определяются их стандартные ошибки

.

В случае двух случайных величин X и У исследуются свойства двумерного распределения. На основании выбранной системы пар (X, и Yj), фаз, градаций разрабатывается таблица распределения. В зависимости от выбранной ширины пары, градации таблицы рас­пределения имеют размер от 2 х 2 до п у. т. Частоты /г,₇ совпадения X,- и Yj распределяются по всей области таблицы распределения с различной плотностью.

Таблица распределения выражает связь между случайными ве­личинами X и У. Она является корреляционной и позволяет устано­вить такие меры корреляционной связи, как коэффициент корре­ляции или корреляционное отношение.

Построение и исследование таблиц, содержащих частоты n_tj со­ответствия X_t и Yj, зависят от решаемой задачи в области метеоро­логии, экономики или в социальной сфере. Признаки X и У, кото­рые принадлежат объекту изучения и рассматриваются как слу­чайные проявления, могут выражать определенные свойства, ха­рактерные черты, факторы, условия, решения, действия и т. п. Выбор признаков, объема выборки и структура таблиц сопряжен­ности — корреляционных таблиц — во многом предопределяют достоверность полученных результатов.

Таблица сопряженности разрабатывается для относительно од­нородных условий и условий, заметно различающихся (табл. 8.1).

Если частоты пвыстраиваются вдоль главной диагонали (сим­волы х ), то связь признаков детерминирована и коэффициент

корреляции г = 1 или -1. „Рассеяние" частот относительно главной диагонали (подключение частот n_tj с символами х и 0) показывает стохастическую связь признаков A_t и Bj и ее зависимость от допол­нительно принятых условий С.

Таблицы сопряженности позволяют дать разностороннюю оцен­ку зависимости случайных величин X и У (достаточно полный свод

Таблица 8.1

Корреляционные таблицы для различных условий С,

Ciд,

и

X

о

В₃

В\

х X X 0

В!

X X

о

X X

и

А Л

А.

0

X

X X

х

X

X X

0

X

х х

X X

о

X X

0

показателей, критериев, мер связи приведен в приложении 3). Представленная в таблицах сопряженности информация о сопря­гаемых признаках позволяет установить аналитическую запись их зависимости в виде эмпирической линии регрессии, т. е. корреля­ционное уравнение регрессии X по Y или Y по X.

Важным обстоятельством является необходимость предвари­тельного логического допущения связи признаков с тем, чтобы вы­воды были физически объяснимыми.

(8.1)

(8.2)

2>

L = a₀ +a₁X_i +а₂Х.

где а₀, а, иа₂ — эмпирические коэффициенты.

Нередко при наличии достаточного объема сведений решается за­дача о зависимости выбранного фактора от двух и более перемен­ных — устанавливается множественная линейная корреляция вида:

Y = aX + bZ + cD + dE + f.

В качестве аргументов функции Y выступают независимые ме­жду собой признаки (X, Z, D, Е).

Изложенные подходы отражают простейшие модели регресси­онного анализа.

Статистический анализ охватывает широкий круг задач, свя­занных с выбором методов более полного исследования сведений метеоролого-экономического или иного содержания.

При условии допуска линейного характера зависимости ряда переменных в репрезентативной выборке исследуются частные ва­рианты коэффициента корреляции Пирсона; в этом случае исполь­зуется факторный анализ. Для решения этой задачи разрабатыва­ются полная корреляционная и полная факторная матрицы. Это позволяет обоснованно выделить те факторы, которые однозначно определяют зависимости в множестве сочетаний признаков.

Областью статистического анализа является изучение факторов, влияющих на изменчивость средних значений наблюдаемых слу­чайных величин. Эту задачу решает дисперсионный анализ. При этом устанавливается общая оценка дисперсии во всей совокупно­сти групп, выделенных в представительной выборке, дается оценка дисперсии по факторам (оценка дисперсии между группами) и оценка остаточной дисперсии (дисперсии внутри группы).

Большое внимание уделяется дискриминантному анализу, в ос­нове которого лежит математический принцип разделения двух групп условий посредством привлечения определяющих их при­знаков. В итоге устанавливается дискриминантная функция

Уравнение (8.2) наилучшим образом разграничивает две группы условий (или иных состояний) среды, производственных действий и т.п. посредством двух признаков, факторов Х_г и Х₂.

Статистический анализ допускает использование ряда других подходов, способов и методов математической статистики.

В целях более полной статистической характеристики выбран­ного одномерного ряда рассчитываются не только основные стати­стики (среднее, среднее квадратическое, мода, медиана, показатели асимметрии), но и функции распределения.

В частности, широко используются построения кривых распре­деления Пирсона. Наряду с этим известны распределения непре­рывных случайных величин, таких как нормальное распределение с плотностью вероятности

(*-*0)²

ф(х, х₀,о)=-=-е ²°² , (8.3)

л/27са

где х — конечное значение непрерывной случайной величины X; х₀ — математическое ожидание (среднее значение) — центр рассея­ния; о — среднее квадратическое отклонение.

Широкое распространение в практике получило логарифмиче­ски нормальное распределение

(lgJ-lg*Q)²

ф(х, х₀,а) = =-е ²°² , (8.4)

cxv 2пс

где с = — = 2,303. lge

Иногда используется распределение Рэлея

x

ф(х, х₀,с)=—е ^2а. (8.5)

о

Вместе с тем допускается использование равномерного распре­деления плотности (закон равной вероятности)

ф(х, х₀,а) =—-— прих!<х<х₂, (8.6)

где х₁ и х₂ — предельные (крайние) значения интервала случайных величин.

Возможно использование других законов распределения слу­чайных величин (Максвелла, Симпсона, Коши и др.)

Природа и человеческая деятельность изобилуют самыми раз­нообразными проявлениями.

Это могут быть различные состояния природы, такие как тем­пература воздуха, скорость ветра, высота нижней границы низких облаков, загрязнение атмосферы данным ингредиентом и т. п. Та­кого рода метеорологические условия подвержены значительным колебаниям и во многом обусловлены процессами, которые проте­кают в атмосфере и также могут рассматриваться с позиции стече­ния случайных обстоятельств.

Все перечисленные проявления являются случайными величи­нами, значения которых зависят от случая и для которых может быть определена функция распределения вероятностей.

Разнообразие случайных величин наблюдается в хозяйственной практике: различного вида затраты, потери по гидрометеорологи­ческим условиям и ряд других случайных величин производствен­ного, технического и технологического характера.