Пределы функций

 

Предел функции. Некоторые замечательные пределы.

Бесконечно малая и бесконечно большая величины.

 Конечный предел. Бесконечный предел.

Понятие бесконечности.

 

Предел функции. Число L называется пределом функции  y = f ( x ) при  x, стремящемся к  a :

если для любого  > 0 найдётся такое положительное число = ( ), зависящее от  , что из условия | x  a | < следует  |  f ( x ) – L | < 

Это определение означает, что L есть предел функции  y = f ( x ), если значение функции неограниченно приближается к  L , когда значение аргумента  x приближается к  a. Геометрически это значит, что для любого  > 0  можно найти такое число  , что если  x  находится в интервале ( a  a  ), то значение функции лежит в интервале ( L  ,  L + ). Отметим, что в соответствии с этим определением аргумент функции лишь приближается  к  a , не принимая этого значения! Это следует учитывать при вычислении предела любой функции в точке её разрыва, где функция не существует.

П р и м е р .   Найти

                                     

Р е ш е н и е .  Подставляя  x = 3  в выражение  получим не имеющее смысла                          выражение ( см. “О выражениях, не имеющих смысла” в разделе                         “Степени и корни” в главе “Алгебра”). Поэтому мы решим по-другому:

                                                         

                        Сокращение дроби в данном случае корректно, так как  x 3 ,                         он лишь приближается к 3.  Теперь мы имеем:                                                              

                         поскольку, если  x  стремится к  3, то  x + 3  стремится к  6 .

Некоторые замечательные пределы.

                               

Бесконечно малая и бесконечно большая величины. Если предел некоторой переменной равен 0, то эта переменная называется бесконечно малой.

П р и м е р .  Функция  y  =     является бесконечно малой при  x,

                      cтремящемся к  4, так как  

 

Если абсолютное значение некоторой переменной неограниченно возрастает, то эта переменная называется бесконечно большой.

 

Бесконечно большая величина не имеет конечного предела, но она имеет так называемый бесконечный предел, что записывается как:

                                                 

Символ   ( “бесконечность” ) не означает некоторого числа, он означает только, что дробь неограниченно возрастает при  x, стремящемся к 3. Следует отметить, что дробь может быть как положительной ( при x > 3 ), так и отрицательной ( при x < 3 ). Если бесконечно большая величина может быть только положительной при любых значениях  x, это отражается в записи. Например, при  x  0 функция  y = x^2 бесконечно большая, но она положительна как при  x > 0, так и при  x < 0 ; это выражается так:

Наоборот, функция  y =   x ^2  всегда отрицательна, поэтому  

В соответствии с этим, результат в нашем примере можно записать так:

Производная. Геометрический и механический смысл производной

 

Производная. Приращение аргумента. Приращение функции.

Дифференцируемая функция. Геометрический смысл производной.

Угловой коэффициент касательной. Уравнение касательной.

Механический смысл производной. Средняя и мгновенная скорость.

Ускорение.

 

 

Производная. Рассмотрим некоторую функцию  y = f ( x ) в двух точках  x₀  и  x₀ + :  f ( x₀ ) и  f ( x₀ + ). Здесь через обозначено некоторое малое изменение аргумента, называемое приращением аргумента; соответственно разность между двумя значениями функции:  f ( x₀ + )  f ( x₀ ) называется приращением функции. Производной функции  y = f ( x ) в точке  x₀  называется предел:

Если этот предел существует, то функция   f ( x )  называется дифференцируемой в точке  x₀ . Производная функции   f ( x ) обозначается так:

Геометрический смысл производной.  Рассмотрим график функции  y = f ( x ):

Из рис.1  видно, что для любых двух точек A и B графика функции:  

где  - угол наклона секущей AB.

Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то  неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует: производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной.

Уравнение касательной. Выведем уравнение касательной к графику функции в точке A ( x₀ ,  f ( x₀  ) ). В общем случае уравнение прямой с угловым коэффициентом  f ’( x₀ )  имеет вид:

y = f ’( x₀ ) · x + b .

Чтобы найти b, воспользуемся тем, что касательная проходит через точку A:

f ( x₀ ) = f ’( x₀ ) · x₀ + b ,

отсюда,  b =  f ( x₀ ) – f ’( x₀ ) · x₀ , и подставляя это выражение вместо  b, мы получим  уравнение касательной:

y =  f ( x₀ ) +  f ’( x₀ ) · ( x – x₀  ) .

Механический смысл производной. Рассмотрим простейший случай: движение материальной точки вдоль координатной оси, причём закон движения задан:  координата  x  движущейся точки – известная функция  x ( t ) времени  t. В течение интервала времени от  t₀  до  t₀ +   точка перемещается на расстояние:  x ( t₀ + )  x ( t₀ ) = , а её средняя скорость равна:  v_a =  . При  0  значение средней скорости стремится к определённой величине, которая называется мгновенной скоростью  v ( t₀ )  материальной точки в момент времени  t₀ . Но по определению производной мы имеем:

отсюда,  v ( t₀ ) = x’ ( t₀ ) , т.e. скорость – это производная координаты по времени. В этом и состоит  механический смысл производной. Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени:  a = v’ ( t ).