1.5 Решение задачи Симплексным методом
3Х1
+
2Х2
30
Х1 + 3Х2 70
Х1 50
Х1 8
Z = 80Х1 + 32Х2 => min
Каноническая задачи
3Х1
+ 2Х2
– Х3
= 30
Х1 + 3Х2 + Х4 = 70
Х1 + Х5 =50
Х1 + Х6 =8
Z = 80Х1 + 32Х2 – 0*Х3 + 0*Х4 + 0*Х5 + 0*Х6 => min
Вспомогательная задача
3Х1
+ 2Х2
–
Х3
+ Х7
= 30
Х1
+
3Х2
+ Х4
= 70
Х1
+ Х5
=50
Х1
+ Х6
=8
Z = 80Х1 + 32Х2 – 0*Х3 + 0*Х4 + 0*Х5 + 0*Х6 + М*Х7 => min
Итерация 1.
Шаг 1.
Выписываем исходное допустимое базисное решение и соответствующее ему значение целевой функции Z.
х1
х2
х3
х4
х5
х6
х7
Х1 = 0 0 0 70 50 8 30
Z1 = 80*0 + 35*0 – 0*0 + 0*70 + 0*50 + 0*80 +M*30 = 30M
Шаг 2.
Проверяем оптимальность полученного решения.
И
так,
пусть х1
=
1
тогда х7 = -3
х4 = -1
х5 = -1
х6 = -1
Z 1 = 80*1 + 35*0 – 0*0 + 0*(-1) + 0*(-1) + 0*(-1) +M*(-3) = 80 – 3M < 0
Вывод: Решение Х1 неоптимальное. Переменную х1 целесообразно ввести в базис, так как значение целевой функции уменьшается.
Шаг 3.
Определяем, какая из прочих базисных переменных должна быть ввести в базис.
30 : 3 = 10
70 : 1 = 70
50 : 1 = 50
8 : 1 = 8 *
Переменная х6 должна покинуть базис, а х1 станет базисной в уравнение IV.
Шаг 4.
П
ересчет
системы линейных уравнений с учетом
нового состава базисных переменных.
2Х2
– Х3
-
3Х6
+ Х7
= 6
3Х2
+
Х4
- Х6
= 62
+ Х5 - Х6 =42
Х
1
+ Х6
=8
Итерация 2.
Шаг 1.
Выписываем очередное допустимое базисное решение и соответствующее ему значение целевой функции Z.
х1 х2 х3 х4 х5 х6 х7
Х2= 8 0 0 62 42 0 6
Z2 = 80*8 + 35*0 – 0*0 + 0*62 + 0*42 + 0*0 +M*6 = 640 + 6 M
Шаг 2.
Проверяем оптимальность полученного решения.
И так, пусть х2 = 1
тогда х7 = -2
х4 = -3
х5 = 0
х1 = 0
Z 2 = 80*0 + 35*1 – 0*0 + 0*(-3) + 0*0+ 0*0 +M*(-2) = 35 – 2M < 0
Вывод: Решение Х2 неоптимальное. Переменную х2 целесообразно ввести в базис, так как значение целевой функции уменьшается.
Шаг 3.
Определяем, какая из прежних базисных переменных должна быть выведена из базиса.
6 : 2 = 3 *
62 : 3 = 20 2/3
Переменная х7 должна покинуть базис, а х2 станет базисной в уравнение I.
Шаг 4.
П
ересчет
системы линейных уравнений с учетом
нового состава базисных переменных.
Х2
–
½ Х3
- 3/2 Х6
+ ½ Х7
= 3
3/2
Х3
+ Х4
- 7/2 Х6
- 3/2 Х7
= 53
+
Х5
- Х6
=42
Х 1 + Х6 =8
Итерация 3.
Шаг 1.
Выписываем очередное допустимое базисное решение и соответствующее ему значение целевой функции Z.
х1 х2 х3 х4 х5 х6 х7
Х3= 8 3 0 53 42 0 0
Z3 = 80*8 + 35*3 – 0*0 + 0*53 + 0*42 + 0*0 +M*0 = 815
Шаг 2.
Проверяем оптимальность полученного решения.
И так, пусть х3 = 1
тогда х2 = 1/2
х4 = -3/2
х5 = 0
х1 = 0
Z 3 = 80*0 + 35*1/2 – 0*1 + 0*(-3/2) + 0*0+ 0*0 +M*0= 17 ½ > 0
Вывод: Решение Х3 не оптимальное. Переменную х3 нецелесообразно ввдить в базис, так как значение целевой функции увеличивается.
Продолжаем Шаг 2.
И так, пусть х6 = 1
тогда х2 = 3/2
х4 = -7/2
х5 = 1
х1 = -1
Z 2 = 80*(-1) + 35*3/2 – 0*0 + 0*(-7/2) + 0*1+ 0*(-1) +M*0= -27 ½ < 0
Вывод: Решение Х4 неоптимальное. Переменную х6 целесообразно ввести в базис, так как значение целевой функции уменьшается.
Шаг 3.
Определяем, какая из прочих базисных переменных должна быть ввести в базис.
53 : 7/2 = 15,14
8 : 1 = 8 *
Переменная х1 должна покинуть базис, а х6 станет базисной в IV уравнение.
Ш
аг
4.
3/2
Х1
+ Х2
– ½ Х3
+ ½ Х7
=
15
-7/2
Х1
+ 3/2
Х3
+ Х4
+ 3/2 Х7
= 25
-Х1
+ Х5
= 34
Х1 + Х6 = 8
Итерация 4.
Шаг 1.
Выписываем очередное допустимое базисное решение и соответствующее ему значение целевой функции Z.
х1 х2 х3 х4 х5 х6 х7
Х5= 0 15 0 25 34 8 0
Z5 = 80*0 + 35*15 – 0*0 + 0*25 + 0*34 + 0*8 +M*15 = 525
Шаг 2.
Проверяем оптимальность полученного решения.
И так, пусть х3 = 1
тогда х2 = -3/2
х4 = 7/2
х5 = 1
х6 = -1
Z 5 = 80*1 + 35*(-3/2) – 0*0 + 0*7/2 + 0*1+ 0*(-1) +M*0= 27 ½ > 0
Вывод: Решение Х5 нецелесообразно. Переменную х3 нецелесообразно вводить в базис, так как значение целевой функции увеличивается.
Продолжаем Шаг 2.
И так, пусть х6 = 1
тогда х2 = 1/2
х4 = -3/2
х5 = 0
х6 = 0
Z 6 = 80*0 + 35*1/2 – 0*0 + 0*(-3/2) + 0*0+ 0*0 +M*0= 16 > 0
Вывод: Решение Х6 нецелесообразно. Переменную х6 нецелесообразно вводить в базис, так как значение целевой функции увеличивается.
Общий вывод по Шагу 2: Так как на данной итерации ни одну из небазисных переменных нецелесообразно вводить в базис, решение Х5 является оптимальным.