34

1. Первое задание

1.1 Условие задачи

По предписанию врача пациенту необходимо перейти на диету и за сезон употребить питательных веществ, содержащихся во фруктах, в количествах, указанных в таблице

Таблица 1. Характеристика диеты

Вещества	Содержится питательных веществ в 1 кг ягод и фруктов		Нормы потребления, г
	Клубника	Яблоки
Р1	3	2	Не менее 30
Р2	1	3	Не более 70
Р4	1	0	Не более 50
Цена за 1 кг, руб.	80	35

Определить, какое количество ягод и фруктов каждого вида необходимо купить за сезон, чтобы выполнить предписание врача с минимальными расходами, если клубники должно быть куплено не более 8 кг.

2. Построение экономико - математической модели задачи

1. Переменные

Х₁- количество клубники необходимо купить за сезон, кг

Х₂ - количество яблок необходимо купить за сезон, кг

2. Ограничение.

1. по содержанию питательных веществ Р₁, г

3Х₁ + 2Х₂ 30

2. по содержанию питательных веществ Р₂, г

Х₁ + 3Х₂ 70

3. по содержанию питательных веществ Р₄, г

Х₁ 50

4. по покупке клубники, кг

Х₁ 8

3. Ц. Ф. – минимальный расход, руб.

Z = 80Х₁ + 35Х₂ => min

3. Матрица модели.

ограничения	количество клубники необходимо купить за сезон, кг Х1	количество яблок необходимо купить за сезон, кг Х2	тип и объем ограничения
1. по содержанию питательных веществ Р1, г	3	2	30
2. по содержанию питательных веществ Р2, г	1	3	70
3. по содержанию питательных веществ Р4, г	1	0	50
4. по покупке клубники, кг	1	0	8
Ц. Ф. – мин., расх., руб.	80	35	min

1.4 Решение задачи графическим методом.

Построим область допустимых решений задачи (приложение А). Для этого:

- отобразим в треугольной системе координат условия неотрицательности переменных. Построим прямые х₁ = 0, х₂ = 0, которые лежат на границах полуплоскостей и совпадают с осями координат. Полуплоскости Х₁> 0, Х₂>0 лежат соответственно справа от оси ОХ₂ и выше оси ОХ_1. Множество точек, удовлетворяющих одновременно неравенствам Х₁ > 0 и Х₂ >0, представляет собой пересечение построенных полуплоскостей вместе с граничными прямыми и совпадают с точками первой четверти;

- построим ограничения задачи (2). Для этого построить по порядку прямые:

3Х₁ + 2Х₂ = 30 (1)

Х₁ + 3Х₂ = 70 (2)

Х₁ = 50 (3)

Х₁ = 8 (4)

- установим, с какой стороны от этих прямых лежат полуплоскости.

На пересечение всех построенных полуплоскостей, в данном случае – это многоугольник АВСD, образуется область определения задачи.

Затем построим вектор нормали . Он проходит через начало координат и точку (80; 35). Перпендикулярно ему через начало координат проведем прямую. Это будет прямая целевой функции Z = 0.

Передвигая прямую Z = 0 по области допустимых решений параллельно самой себе в направление вектора N, значения целевой функции будут возрастать. Минимум достигается в точке В. Найдем координаты этой точки. Она образуется при пересечении 4 прямой и осью Ох. То есть точка имеет координаты С(0; 15). Значение целевой функции равно:

Z=80*0+35*15=525 Решение задачи в Microsoft Excel

Результаты решения задачи в Microsoft Excel представлены в приложении Б. Для их получения вводим условие задачи, для этого необходимо:

- создать экранную форму для ввода условия задачи;

- ввести исходные данные в экранную форму;

- ввести зависимости из математической модели в экранную форму;

- задать Ц.Ф. и ввести ограничения, граничные условия в окне "Поиск решения".

Затем для получения решения нужно установить параметры задачи в окне "Поиск решения", запустить задачу на решение.

Решение задачи в пакете программ линейной оптимизации SIMPLEX

Решив задачу в пакете программ линейной оптимизации SIMPLEX, получаем тот же оптимальный план, что и при решении задачи графическим методом (Приложение В).