Однопродуктовая оптимизационная динамическая макроэкономическая модель.
Экономика содержит в себе объективную необходимость и возможность оптимального развития. Количественный анализ математическая формулировка экономических законов служат переходной ступенью от их качественной трактовки к разработке моделей оптимизационного развития. При математической интерпретации экономических законов следует исходить из того, что закон, представляющий причинно-следственную связь производственных отношений, имеет некоторую количественную форму выражения.
В качестве материального носителя при этом предполагается рассматривать в основном различные формы общественного продукта. В исследуемой оптимизационной модели в качестве критерия оптимальности предполагается максимизировать дисконтированную сумму конечного (непроизводственного) потребления в течении срока прогнозирования (планирования) [0; T]:
(6)
C(t) – непроизводственное потребление
(t) – функция дисконтирования, отражающая меру предпочтения потребления в данный момент t относительно потребления того же продукта в последующие моменты
Если задача оптимального развития экономики, то её можно сформулировать следующим образом: определить такой вариант выпуска продукции X(t) и такое непроизводственное потребление C(t), которые обеспечат наибольшее интегральное дисконтированное потребление.
Модель примет следующий вид:
Для экономики, распределение продукции которой определено дифференциальным уравнением связи:
выпуск продукции ограничен производственной функцией F (t, R, L)
0 X F (t, R, L)
L – живой труд
a – выпуск продукции при единичных затратах капитала и живого труда,
а рост производственных фондов ограничен снизу:
K(t) Kзадан и X(t0) = X0
Необходимо найти такой вариант развития, который обеспечивает максимум функционала (6). Итак, рассмотренная модель учитывает не только динамику развития экономики, но и цель этого развития. Количественное оптимизирование варианта развития экономики с помощью этой модели связано с использованием аппарата Теории оптимального управления.
Тема 9. Исследование однопродуктовой макромодели оптимального развития экономики.
1. Моделирование производства на макроуровне.
При математическом моделировании взаимосвязь между факторами производства и его результатом отражают с помощью производственных функций (ПФ).
При построении ПФ следует иметь в виду, что затраты факторов производства на выпуск продукции всегда не “─”. При моделировании ПФ отсутствие одного из факторов приводит к нулевому выпуску продукции. Факторы производства меняются непрерывно, а выпуск продукции изменяется достаточно гладко при изменении факторов.
Экономически целесообразно, чтобы при росте количества используемого ресурса выпуск продукции рос, т.е., для дифференцируемой ПФ F(K,L) можно записать неравенства:
и
К - капитал, L - живой труд
Представленным условиям отвечают ПФ вида:
,
a>0, α>0,
β>0
Х – выпуск продукции
а – выпуск продукции при единичных затратах капитала и живого труда
α и β – эластичность выпуска продукции по капиталу и труду.
Данная формула даёт возможность отразить эффект масштаба производства, который существует при одновременном изменении факторов K и L.
Пусть эти факторы изменяются в
>0
раз,
тогда
Различные значения α + β, определяют способы развития экономики:
Если α + β>1 – интенсивный3 способ развития, т.е., с ростом масштаба производства в раз, выпуск продукции возрастает более в чем раз.
Если α + β<0 – производство не эффективное.
Если α + β=1 – нормальное развитие экономики за счёт интенсивных факторов.
В условиях экстенсивного4 производства рост затрат только одного из факторов производства приводит к снижению эффективности его использования
и
означает, что каждая последующая единица возрастающего фактора соединяется с меньшим количеством другого фактора и его рост даёт уменьшающий прирост продукции.
Такое явление называют эффектом насыщения.
> станков, при одном числе работы.
> руководитель всю работу берёт на себя, не делегируя.
Для экстенсивного способа развития характерно:
,
Это означает, что при отсутствии фактора K или L и при их последующем приросте на бесконечно малую величину ∆ K или ∆L скорость возрастания выпуска продукции становится бесконечно большой.
Наоборот, в случае чрезмерно большого возрастания фактора K или L
,
прирост их эффективности снижается до 0.
График функции в зависимости от одного из аргументов K или L при фиксированном значении другого аргумента.
График зависимости выпуска продукции от K, при фиксированном значении живого труда L
Если α + β=1, мультикативна ПФ, отражающая модель экстенсивного способа развития, называется ПФ Кобба – Дугласа:
,
где
и
- эластичность выпуска продукции по
капиталу и живому труду.
Коэффициенты эластичности ПФ по факторам определяются как отношение предельной эффективности ПФ по данному фактору к средней эффективности.
Рассмотренные ПФ имеют статический характер, в них, в явном виде не учитывается фактор НТП: зависимость от времени, производственные навыки, образованность работников, общий уровень научно-технического развития общества и т.д.
Если затраченный труд и капитал в разное время одинаковые, то таким же одинаковым будет и выпуск продукции. В действительности конечно это не так, поскольку необходимо учитывать количественную и качественную зависимость выпуска продукции от времени и многих других факторов развития общества.
Простейший способ такого учёта – автономный НТП, когда статическая ПФ умножается на эмпирически определяемый возрастающей в зависимости от времени множитель, например еPt, где Р – положительная величина, означает темп роста НТП.
Преимущество такого способа отражения в экономико-математических моделях факторов динамики НТП – в его технической простоте (не влияет на усложнение техники моделирования).
Недостаток – в сокрытии причин и качественных разновидностей НТП. Получается, что он возникает как бы из ничего, общество не затрагивает дополнительных ресурсов, что очевидно, нереально.
Теория этой проблемы выходит за рамки ТОУ, поэтому ПФ будем рассматривать с учётом автономного НТП, в виде X(t)=F(K,L)ePt, где Р – полученные результаты.