25.Методы отсечения для решения задач дискретного программирования.

Пусть имеем задачу лин. прог.: , , (1)

Опр. Нерав-во ( ) (*) наз-ся правильным отсечением, если оно удовл. условиям:

Условие отсечения. не удовлетворяет неравенству (*), т.е. .

Условие правильности. Если  – план задачи , то удовл. нерав-ву (*), т.е. .

Пусть  – опт. опорный план задачи (1). Выразим целевую ф-ию и все переменные , соответствующие оптимальному опорному плану . (5)

Пусть x – вещественное число. Целой частью x называется наибольшее целое число, не превышающее x. Целая часть x обозн-ся [x]. Дробной частью наз-ся {x} = x – [x] (пример: )

Теорема. Пусть: 1) , ; (6); 2) – план .

Тогда: – целое (7); (8)

Замечание. Если все – целые числа, то условия теоремы распространяются на случай .

Следствие. Пусть не удовл. условию ЦЧ (4), т.ч. для некоторого ( ), –  нецелое.

Тогда соотношения (6), (8) задают правильное отсечение: , .

Схема метода отсечений. Задача . На 0-м этапе отбрасываем условие ЦЧ , отыскиваем опт. план задачи . Если он не явл. решением , то строится прав. отсеч., отбрасывающее этот план и реш. задача , и т.д. до . Опт. план вспом. задачи ЛП опр-ся неоднозначно.

26.Лекс. Модификация метода последовательного уточнения оценок.

Вместо задачи (1) решается её лекс. вариант. Требуется найти лекс. максимум расширенного плана при .

Система ограничений опр-ет доп. многогранник . Задачу (1) будем обозначать , C – вектор целевой ф-ии. Задачу -макс-ции – . Соотв. модиф. метода послед-го уточн-я оценок – -метод.

Общая итерация –метода: пусть имеется –псевдоплан . Ему соответствуют:

B_r – мн-во индексов базисных переменных; N_r – мн-во индексов небаз. пер-ных; T_r – симпл. таблица.

			…		…
			…		…
		…	…	…	…	…
…	…	…	…	…	…	…
		…	…		…
…	…	…	…	…	…	…
		…	…		…

, Все , .

Столбцы таблицы обозначим через , , .

Проверяем допустимость , (условие ).

Если доп., то – ‑опт. план. Если нет, то ищем , выводимую из базиса, по правилу .

Затем отыскивается переменная x_l, вводимая в базис, по правилу .

Если все , неотриц., то задача неразрешима. Иначе переходим к новому ‑псевдоплану , которому соответствует ,

Эл. новой табл.  выч. по ф-лам: , ; , , .

27.Первый алгоритм Гомори для решения полностью цч задачи лп.

Гомори предложил вместо задачи решать ‑задачу , т.к. -оптимальный план опр-ся единственным образом. Вычисления в методе Гомори проводятся в соответствии с ‑методом.

Основной проблемой при исп. методов отсечений является рост числа ограничений. Гомори предложил приём, ограничивающий размеры расширенных симпл. таблиц до , где – кол-во переменных в , а   – число небазисных переменных в ней.

Этот приём основан на том, что доп. ограничения (правильные отсечения) интересует нас не сами по себе, а только как способ отсечения не ЦЧ оптимума и перехода от к .

Доп. переменная ( ), связанная с правильным отсечением, выводится из базиса сразу же после введения ограничения , ;

Идея Гомори заключается в следующем:

1. Сразу после вывода ( ) из базиса, соотв. строка вычёрк-ся из расшир. симпл. таблицы.

2. Если в ходе вычислений  снова попадает в базис, то соотв. строка в симпл. таблице не восст-ся.

Т.о., число столбцов в таблице не превышает , а число строк –  , где строка соответствует и одна в момент её включения.

Алгоритм Гомори неприменим, если задача имеет решение, но не имеет решения l‑задача .

Блок‑схема алгоритма. Начальная итерация.

Решаем l‑задачу . Если она неразрешима, то неразрешима и задача . Если разрешима и l‑оптимальный план удовлетворяет условию целочисленности, то является оптимальным планом задачи . Если не удовлетворяет условию целочисленности, то переходим к общей итерации.

r-я общая итерация (r0).

Пусть не удовлетворяет условию целочисленности. Мы ищем нормальную и допустимую симплексную таблицу , , , из которой , .

Выберем наименьшую по номеру строку, которой соотв. не ЦЧ комп-та (если целочисленность целевой функции гарантирована, то ) и строится соотв. правильное отсечение (*) ,  – целое.

Строка приписывается снизу к таблице . Получается недопустимая (только по строке !) и ‑нормальная таблица, к которой применим ‑метод. Причём после вывода из базиса соответствующая строка вычёркивается, а после введения в базис , соотв. строка не восстанавливается. Если в итоге получаем симплексную таблицу, которой соответствует неразрешимая задача ЛП, то и задача неразрешима. Если же получим допустимую и ‑нормальную таблицу , то проверяем соответствующий ‑оптимальный опорный на ЦЧ ( ). Если удовл. условию ЦЧ, то он является опт. решением , если нет, то переходим к -й итерации.