17.Вычисление оптимальных стратегий (поиск решения в чистых стратегиях, доминирование стратегий, решение игр 2x2).
Простейшим является случай, когда
существует седловая точка, т.е. когда
существует элемент
,
являющийся максимальным в своём столбце
и минимальным в своей строке. Тогда
чистые стратегии
и
(или, что равносильно, смешанные стратегии
и
,
для которых
,
а все остальные компоненты равны нулю)
будут оптимальными стратегиями для
игроков 1 и 2 соответственно.
Доминирование. Пусть дана матрица
.
Будем говорить, что
-ая
строка доминирует
-ую
строку, если
и
по крайней мере для одного j.
Аналогично,
-ый
столбец доминирует
-ый
столбец, если
и
х.б. для одного i.
Т.о., одна чистая стратегия доминирует другую, если выбор первой (доминирующей) стратегии, по крайней мере, не хуже выбора второй (доминируемой) стратегии, а в некоторых случаях и лучше. Отсюда следует, что игрок может обойтись без доминируемых стратегий и использовать только недоминируемые стратегии.
Теорема. Пусть
– матричная игра, и пусть строки
матрицы доминируются. Тогда игрок 1
имеет такую опт. стратегию
,
что
;
кроме того, любая опт. стратегия для
игры, получ. в результате удаления
доминируемых строк, будет также опт.
стратегией для первоначальной игры.
Аналогичная теорема справедлива и для доминирования столбцов. Общий результат этих теорем состоит в том, что все доминируемые строки и столбцы могут быть отброшены.
Игры (2x2). Пусть
дана матр. игра
с платежной матр.
.
Если есть седловая точка, то всё
определено. Если нет, то опт. стр-ии
и
имеют полож. компоненты
,
.
Если значение игры –
,
то для опт. стратегии
,
т.е.
.
Преобразуем:
(*)
Т.к.
оптимальная
стратегия, то должно выполняться:
,
.
Допустим, что одно из выражений строго
меньше
:
Т. к.
,
,
то левая часть (*) будет меньше правой.
Отсюда следует, что должно быть
,
.
Аналогично:
,
.
Из этих уравнений, с учётом, что
,
легко найти стратегии обоих игроков.
18.Решение антагонистических игр методами линейного программирования.
На основании т. о минимаксе, стратегия
,
удовлетворявшая условию
где
– значение игры, является ОС для 1-го
игрока. Т.е. не существует другой
стратегии, которая дала бы ему больший
ожидаемый выигрыш, чем
,
против каждой стратегии игрока 2.
Т.о., игру с точки зрения 1-го игрока можно записать как задачу линейного программирования:
,
,
;
Причём
рассматривается как
-ая
переменная, неограниченная по знаку
(свободная).
С другой стороны с точки зрения 2-го игрока, он стремится минимизировать значение игры:
;
при
,
;
;
– своб. переменная |
;
– своб. переменная. |
Т.о., решив одну из двойственных задач, мы определим ОС 1-го и 2-го игроков и значение игры.
19.Решение методами линейного программир-ия матричных игр с ограничениями.
Рассмотрим игру, в которой допускаются не все смешанные стратегии. Обычно для этого имеются определённые практические основания. Предположим, что смешанные стратегии и соответственно должны выбираться из некоторых выпуклых многогранников.
Если матрица игры
,
то задача игрока 1 состоит в том, чтобы
найти
(1), где два множества X и Y
определяются соответственно неравенствами
и
.
Аналогично задача 1-го игрока состоит
в том, чтобы найти
(2), при тех же ограничениях на
стратегии игроков.
В выражении (1) величина в скобках, очевидно, является функцией . Точнее она является значением задачи ЛП, целевая функция которой имеет коэффициенты, зависящие от . По теоремам двойственности, если эта задача допустима и ограничена, то две задачи
(3) и двойственная к ней
(4), будут иметь одно и то же значение
целевой функции.
Значит, задача игрока 1 сводится просто к задаче максимизации: |
Аналогично, можно показать, что задача (2) игрока 2 сводится к задаче минимизации: |
|
|
(5)
(6)Задачи (5) и (6) являются двойственными друг к другу. Если эти задачи допустимы, то выражения (1) и (2) будут равны и, таким образом, игра с ограничениями будет иметь решение в смешанных стратегиях.