14.Теорема о минимаксе. Лемма 1 (об опорной гиперплоскости).

Пусть – замкнутое выпуклое множество в -мерном евклидовом пространстве, . Тогда (1), (2)

(Геом. это означ., что ч/з т. можно провести гиперпл. так, что будет целиком лежать «выше» неё).

Д-во: Пусть , расстояние до которой от минимально (она т.к. замкнуто). Положим , , . Очевидно, что (1) вып-ся, т.к. .

Док. (2):

Допустим, что такой, что .

Т.к. выпукло, отрезок, соединяющий с , должен целиком содержаться в , т.е. точки этого отрезка .

Квадрат расстояния от до имеет вид: .

Поэтому

При (т.е. при ) имеем: . Первое слагаемое по предп. , второе . Поэтому при , достаточно близких к нулю, .

Но это противоречит выбору . Следовательно, для условие (2) должно выполняться.

15.Теорема о минимаксе. Лемма 2 (об альтернативах для матриц).

Пусть Тогда справедливо либо утверждение 1, либо утверждение 2.

1. Точка (в -мерном пространстве) содержится в выпук­лой оболочке точек

2. Существуют числа , удовлетворяющие условиям: , , , .

Д-во: Пусть 1 неверно. Т.е. точка не содержится в выпуклой оболочке этих точек.

На основании леммы 1 существуют такие числа , что .

Отсюда следует, что и для всех в указанном выпуклом множестве. В частности это выполняется, если . Поэтому , и .

Так как , получаем , и можно положить .

Следовательно, , , .

16.Доказательство теоремы о минимаксе.

, где – столбец, а – строка матрицы .

Д-во: Пусть – матричная игра. По лемме 2 имеет место либо утверждение (1), либо утверждение (2).

Если верно (1), то является выпуклой линейной комбинацией векторов. Поэтому существуют такие , что ;

Если бы были =0, то оказывался бы выпуклой линейной комбинацией ед. вект-ров , что невозм., т.к. они лин. незав. След-но, хотя бы одно из чисел положит. и . Тогда положим , и получим: , .

Значит, и

Предп. теперь, что верно (2): , .

Тогда, . Следовательно, неравенство не может иметь места. Предположим теперь, что мы изменили игру , заменив её на игру , где .

Ясно, что для любых :

Поэтому: . Т.к. не может иметь места, то неравенство также не выполняется. Но – произвольно. Значит, неравенство невозможно. Так как , то , что и требовалось доказать.

Т.о., мы видим, что при использовании смешанных стратегий нижний выигрыш игрока 1 в точности равен верхнему проигрышу игрока 2. Общая величина этих двух чисел называется значением игры.

Мы видим, что стратегия , удовлетворяющая условию (4), является оптимальной для игрока 1 в том смысле, что не существует стратегии, которая дала бы ему больший ожидаемый выигрыш, чем , против каждой стратегии игрока 2.

Обратно, если удовлетворяет условию (5), то является оптимальной для игрока 2 в том же смысле.

Далее, очевидно, что , т.к. если бы правая часть этого равенства была меньше левой, то это противоречило бы (5), а если бы она была больше левой – это противоречило бы (4). Следовательно, оптимальные стратегии и являются также оптимальными одна против другой, а также против любой иной оптимальной стратегии.

Будем называть любую пару оптимальных стратегий – решением игры.