11.Ситуации равновесия.

Определение. Пусть дана игра . Говорят, что ситуация (т.е. какой-нибудь n-набор стратегий) равновесна, или, что она является ситуацией равновесия, если для любого и для любого имеет место неравенство .

Другими словами – ситуация равновесна, если ни один игрок не имеет никаких разумных оснований для изменения своей стратегии при условии, что все остальные игроки собираются придерживаться своих стратегий. В этом случае, если каждый игрок знает, как будут играть остальные, он имеет основания придерживаться той стратегии, которая соответствует этой ситуации равновесия; тем самым игра становится весьма устойчивой.

	Р	О
Р	(−1, 1)	(1, −1)
О	(1, −1)	(−1, 1)

Пример. Для игры с такой НФ как , так и являются ситуациями равновесия. Не каждая игра обладает ситуациями равновесия. Например, игра в «орлянку» такой ситуации не имеет.

Вообще, если игра не имеет ситуаций равновесия, то обычно некоторые игроки пытаются отгадать стратегии остальных игроков, сохраняя собственные стратегии в тайне. Это наводит на мысль, что в играх с полной информацией ситуации равновесия существуют (в конечных играх).

Действительно, справедлива следующая теорема:

Теорема: Любая конечная игра n лиц с полной информацией имеет ситуацию равновесия.

12.Игры с нулевой суммой. Антагонистич. Игры. Теорема о ситуациях равновесия.

Опр: Игра называется игрой с нулевой суммой, если в каждой окончательной позиции ф-ия выигрыша , где – выигрыш -го игрока в этой позиции, удовлетворяет условию: (1).

Вообще говоря, игра с 0-суммой представляет замкнутую систему: все то, что кто-ибудь выиграл, должно быть кем-то проиграно. Игры двух лиц с нулевой суммой называются антагонистичес­кими.

В случаях А-игры можно задавать только первую компоненту вектора выигрышей; вторая компонента равна первой с противоположным знаком. Т.е. первая компонента называется просто выигрышем, это означает, что второй игрок отдает эту сумму первому.

В А-играх нет оснований для переговоров м/у игроками: т.к., если один выигрывает, то др. проигрывает.

Теорема: Пусть и – две ситуации равновесия антагонис­тической игры. Тогда:

1. и также являются ситуациями равновесия

2. (2)

Док-во: Ситуация равновесна . Т.е. выбор любой др. стратегии 1-м игроком, при условии, что второй сохранит стратегию , приводит к худшему результату.

С др. стороны, ситуация также равновесна .

Т.о. .

Но, аналогично получится, если отправляться от ситуации : .

Из этих двух систем неравенств следует справедливость (2).

Далее, для любого : , и для любого : .

Следовательно, является ситуацией равновесия. Аналогично, равновесна и ситуация .

Эта теорема имеет место только для антагонистических игр с нулевой суммой.

13.Смешанные стратегии. Максиминные и минимаксные стратегии игроков.

Предположим, что мы играем в игру без седловой точки.

Для 1-го игрока, если 2-й всегда угадывает его стратегию, нижний выигрыш .

Для 2-го игрока, если 1-й всегда угадывает его стратегию, верхний проигрыш .

Можно доказат, что . Если имеет место равенство, то получаем седловую точку.

Смешанная стратегия игрока есть вероятностное распр. на мн-ве его чистых стратегий.

Если игрок имеет m чистых стратегий, смеш. стр. есть -мерный вектор , ,

Пусть – иатрица игры, – мн-во всех смеш. стр. игрока 1, – мн-во всех смеш. стратегий игрока 2 .

Если 1-й игрок выбирает смеш. стратегию , а 2-й – , то ожидаемый выигрыш будет равен: , или в матр. форме: .

Для 1-го игрока, если 2-й угадывает его стратегию, нижний выигрыш .

– взвеш. среднее ожидаемых выигрышей игрока 1, когда он исп. против чистых стр. игрока 2. Т.о., минимум будет дост-ся на некоторой чистой стр. j: , где – j-й столбец .

Стратегия игрока 1, максимизирующая , т.ч. называется максиминной.

Аналогично, для 2-го игрока верхний проигрыш

Стратегия игрока 2, минимизирующая , т.ч. называется максиминной.

Числа и называются значениями игры для игроков 1 и 2 соответственно.