9.Р азвернутая форма игры.

С позиционной игрой связывают понятие топологического дерева или дерева игры, представляющего собой конечную совокупность узлов, называемых вершинами, соединенных ребрами, притом так, что получается связанная фигура, не содержащая простых замкнутых фигур.

Опр: под позиц-нной игрой лиц понимают следующее:

1. Топологическое дерево с выделенной вершиной , называемой начальной позицией игры.

2. Ф-ия выигрыша, кот. ставит в соотв. каждой оконч. позиции дерева -мерный вект. (для игроков)

3. Разб.-е множ-ва всех неокончат. позиций (неоконч. вершин) дерева на множ-во , которые называют мн-вами очередности. Мн-во соотв. началу (м.б. случ.), – мн-во очередности для 1-го игрока (1-ый уровень от на рис), и т.д.

4. Вероятное распределение для каждой позиции из на множестве непосредственно следующих за ней позиций (т.е. из каждой позиции следуют варианты позиций с некоторой вероятностью).

5. Подразб.-ие множ-ва , на информационные множ-ва ; при этом позиции одного и того же инф-го множ-ва имеют одинаковое число следующих за ними позиций (альтернатив), и никакая позиция не может следовать за др. позицией из того же самого инф-го множ-ва.

6. Для каждого инф. множ-ва мн-во индексов вместе с взаимно однозначными отображениями мн-ва на мн-ва альтернатив каждой позиции из .

В этом определении перечислены все элементы игры: (1) устанавливает, что имеется нач-ая позиция; (2) задает ф-ию выигрыша; (3) разделяет мн-во неоконч. позиций на позиции с ходом случая ( ) и личные позиции, соотв-щие каждому из игроков: ( ) (из позиции очередь хода принадл. игроку ); (4) задает схему рандомизации в каждой позиции случая; (5) разбивает позиции каждого игрока на инф. мн-ва: игрок знает лишь, в каком инф. мн-ве он находится, но не знает, в какой именно позиции.

10.Нормальная форма игры.

Для описания МО ф-ии выигрыша при усл., что -ый игрок прим-ет стратегию , можно исп. след. обозн-е: . Ф-ию на мн-ве всех взаимных значений можно выразить либо в форме соотн-я, либо в виде -мерной таблицы -мерных век-ров. При эта запись свод-ся к матр., эл-ми кот. явл. пары вещ. чисел. Такая n-мерная табл. наз-ся НФ игры.

НФ конечной антагонистической игры сводится к некоторой матрице с числом строк, равным числу стратегий игрока 1 и с числом столбцов, равным числу стратегий игрока 2; , где – величина выигрыша, если 1-ый игрок выбирает стратегию , а 2-ой – стратегию , – число стратегий первого игрока, – второго игрока.

Ситуация (пара стратегий) будет равновесной соотв. ей элемент является одновр. наибольшим в своем столбце и наименьшим в своей строке. Такая ситуация, если она сущ., наз-ся седловой точкой.

предст. выигрыш 1-го игрока при его -ой стратегии, если 2-й придерж-ся своей -ой стратегии.

1-й игрок стрем-ся максим-ть , а 2-й – миним-ть. Ни один из игроков не знает заранее стратегии прот.

Если матр. игры имеет седл. точку, то оч., что 1-ый игрок будет исп. эту стр., даже, если 2-й её узнает. Т.е., если игра с седловой точкой, то её нахождение уже есть решение игры.