Задание 1. Цифровым измерителем иммитанса Е7-14 проводились прямые многократные измерения сопротивления магазина сопротивлений марки РЗЗ, номинальное значение которого равно 0,1 Ом. Измерения проводились в диапазоне рабочих температур измерителя иммитанса.
Получены результаты измерения Ri, мОм.
Проведенные измерения характеризуются неисключенной систематической погрешностью, задаваемой пределом допускаемого значения;основной погрешности измерения измерителя Е7-14, определяемой по формуле (для диапазона измерения от 0,1 ... 1000 мОм)
,Rk
где Q - добротность катушки сопротивления
(для данного магазина сопротивлений
добротность Q = 0); Rk - конечное значение
диапазона, Ом; Дополнительная погрешность
измерения в диапазоне рабочих температур,
которая задана формулой
,где
k - множитель, определяемый по таблице.
(1.1)
В данном случае k=0,1
Для устранения влияния соединительных проводов и переходных сопротивлений контактов был проведен ряд измерений при нулевом значении магазина сопротивлений. Получены результаты измерения Roif мОм.
Требуется провести обработку результатов наблюдений:
- определить и исключить систематические погрешности;
- для исправленных результатов наблюдений вычислить среднее арифметическое значение, оценку СКО результатов наблюдений и оценку СКО среднего арифметического
- проверить результаты и измерений на наличие грубых погрешностей и промахов проверить гипотезу о том, что результаты наблюдений принадлежав нормальному распределению.
- вычислить доверительные (интервальные) границы случайной погрешности Δ0 результата измерения.
-вычислить границы неисключенной систематической погрешности θ;
-вычислить доверительные границы суммарной погрешности результата измерения и записать результат измерения.
Исходные данные:
Ri=145,4, 145,4, 145,41, 145,41, 145,42, 145,42, 145,42, 145,42, 145,43, 145,43, 145,43, 145,43, 145,43, 145,44, 145,44, 145,46.
Roi=45,22, 45,28, 45,33, 45,34, 45,35
Доверительные границы при расчёте погрешностей Pδ=0,95.
Решение:
1.Определение систематической погрешности.
Систематическая погрешность измерения сопротивления состоит из трех составляющих обусловленных ненулевым значением сопротивления соединительных проводов и переходных контактов зажимов используемых средств измерений; основной и дополнительной погрешностями измерителя иммитанса F7- 14
Первая из них может быть оценена исходя из данных измерений нулевого сопротивления магазина. Полученный ряд данных характеризуется средним арифметическим значением и оценкой его СКО:
(1.2)
(1.3)
где
n - количество измерений;
- среднее арифметическое значение
нулевого сопротивления магазина, мОм,
- оценка СКО нулевого сопротивления
магазина, мОм.
Для удобства расчетов составим таблицу 1.1
Расчет среднего арифметического значения и оценки СКО ненулевого сопротивления соединительных проводов и переходных контактов зажимов используемых средств измерений
Таблица 1.1
|
|
|
45,22 |
-0,084 |
0,007056 |
45,28 |
-0,024 |
0,000576 |
45,33 |
0,026 |
0,000676 |
45,34 |
0,036 |
0,001296 |
45,35 |
0,046 |
0,002116 |
|
|
|
(1.4)
(1.5)
(1.5)
(1.6)
(1.7)
;
45,304
мОм,
0,000586
мОм,
Сопротивление проводов постоянно присутствует в результатах измерений и по своей сути является систематической погрешностью, которая может быть исключена из результатов измерений путем введения поправки, равной
θ = 45,304 мОм,
После введения поправки получается исправленный ряд значений сопротивления Rut
2. Определение среднего арифметического и оценки ско исправленных результатов.
Среднее арифметическое значение сопротивления и его оценку его СКО определяем по формуле
Где
Rut – значение сопротивления исправленного
ряда, мОм,
-
оценка СКО среднего арифметического
значения сопротивления, мОм.
100,1203
мОм;
0,003763863
мОм
Оценка СКО результатов измерений определяем по формуле
0,015055453
мОм
Таблица расчёта среднего арифметического значения и оценки СКО сопротивления магазина сопротивлений.
Таблица 1.2
|
|
|
100,096 |
-0,025 |
0,025 |
100,096 |
-0,025 |
0,025 |
100,106 |
-0,015 |
0,015 |
100,106 |
-0,015 |
0,015 |
100,116 |
-0,005 |
0,005 |
100,116 |
-0,005 |
0,005 |
100,116 |
-0,005 |
0,005 |
100,116 |
-0,005 |
0,005 |
100,126 |
0,005 |
0,005 |
100,126 |
0,005 |
0,005 |
100,126 |
0,005 |
0,005 |
100,126 |
0,015 |
0,015 |
100,126 |
0,015 |
0,015 |
100,136 |
0,015 |
0,015 |
100,136 |
0,015 |
0,015 |
100,156 |
0,025 |
0,025 |
|
|
|
0,2
3. Проверка результатов измерения на наличие грубых погрешностей. Для проверки результатов измерений на наличие грубых погрешностей используем критерий Романовского.
Вычисляем отношение:
Для
нашего пример при уровне значимости q
= 1 – P = 0,05 n = 16, табличный коэффициент
= 2,64
Проверим крайние значения результатов измерения Rumax и Rumin
т.е. все результаты измерений приняты.
4. Проверка гипотезы о том, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению.
Для проверки гипотезы используем составной критерий, т.к. число измерений n=16
Уровень значимости проверки гипотез принять q 1= 0,1, q2 = 0,02
По формуле вычисляем статистику
По табличным данным для n = 16 находим кватилити d0,01= 0,9137, d0,99= 0,6829.
Сравнение статистики d с квантилити показывает d0,01<d< d0,99. Это означает соответствие с первым критерием, результаты измерений распределены по нормальному закону.
Для
проверки нормальности распределения
в соответствии со вторым критерием
необходимо оценить допустимое число
абсолютных разностей результатов
измерений
при заданном уровне значимости,
превысившем уровень Ф(z0,5(1+P))SR.
При q2
= 0,02, n = 16 находим по табл. Р= 0,99, m = 1. По
табл. находим значение квантили
Ф(z0,99)=2,3267
и значение произведения Ф(z0,99) SR
= 0,035029523. Анализ результатов измерений,
приведенных в таблице, показывает, что
ни один из результатов не превышает
0,035029523 , поэтому распределение результатов
наблюдений можно считать близким к
нормальному в соответствии со вторым
критерием при уровне значимости 0,02.
Таким образом, оба критерия говорят о том, что распределение результатов измерений с уровнем значимости q < q1+ q2 = 0,12 можно признать нормальным.
5
(1.11)
(1.12)
(1.13)
. Определены е доверительных границ случайной погрешности. Случайную составляющую погрешности измерений определяем по формуле
По табличным данным tp = 2,131
0,008020793
мОм
Доверительный интервал погрешности измерения сопротивления проводов определяем по формуле
По табличным данным tp = 2,776
0,041793938
мОм
Эту погрешность можно рассматривать двояко как неисключенную систематическую погрешность и как составляющую случайной погрешности.
Случайные погрешности измерений исследуемого сопротивления и сопротивления подводящих проводов можно считать некоррелированными, так как измерения проводились в разное время Поэтому суммарную случайную погрешность рассчитывается по формуле
Где
- суммарная случайная погрешность
измерения, мОм
0,042556625
мОм
(1.14)
(1.15)
(1.16)
(1.17)
6. Определение доверительных границ систематической погрешности. Составляющую систематической погрешности обусловленную основной погрешность измерителя иммитанса Е7-14, рассчитываем по формуле
где
- среднее арифметическое значений ряда
неисправленных показаний измерителя
иммитанса, Ом.
Среднее арифметическое значение ряда неисправленных показании измерителя иммитанса определяем по формуле
145,425
мОм.
Следовательно, систематическая погрешность, обусловленная погрешностью Е7-14:
0,445425
мОм
Систематическую погрешность, обусловленную дополнительной погрешностью средств измерений определяем по формуле
По начальным условиям k=0,1
0,0445425 мОм
Суммарную систематическую погрешность определяем по формуле
0,699976785
мОм
7.
Определены доверительных границ
суммарной погрешности.
Доверительные границы суммарной
погрешности результата измерения
зависят от соотношения
185,9729582>8.
Из полученных даны видно, что систематическая погрешность значительно больше случайной, поэтому, последнюю можно не учитывать.
Результат измерения записываем в виде
R = (100,1 ± 0,7) мОм при P = 0,95 n=16.
Задание 2. При проведении поверки рабочего средства измерений проводили прямые многократные измерения образцовой величины Z в количестве п = 100 раз Действительное значение измеряемой величины усиливалось в К раз, поэтому при ее определении требуется корректировка на величину множителя ф.
Уровень значимости проверки гипотез принять q = 0,05, доверительные границы при расчете погрешностей Р6= 0,95.
Таблица 2.1
Показатель |
Значение |
Образцовая величина |
100 |
Погрешность образцовой величины |
±0,09 |
Множитель к показанию прибора |
1,0 |
Единица измерения кН |
кОм |
Таблица 2.2
Показание прибора при проверке |
Количество поврорения показания прибора |
97 |
3 |
98 |
6 |
99 |
16 |
100 |
48 |
101 |
18 |
102 |
5 |
103 |
4 |
Решение
Данные полученные при учёте множителя к показанию прибора записываем в порядке возрастания, т.е. записывается вариционный ряд: 97; 97; 97; 98; 98; 98; 98; 98; 98; 99; 99; 99; 99; 99; 99; 99; 99; 99; 99; 99; 99; 99; 99; 99; 99; 100; 100; 100; 100; 100; 100; 100; 100; 100; 100; 100; 100; 100; 100; 100; 100; 100; 100; 100; 100; 100; 100; 100; 100; 100; 100; 100; 100; 100; 100; 100; 100; 100; 100; 100; 100; 100; 100; 100; 100; 100; 100; 100; 100; 100; 100; 100; 100; 101;101; 101; 101; 101; 101; 101; 101;101; 101; 101; 101; 101; 101; 101; 101; 101; 101; 102; 102; 102; 102; 102; 103; 103; 103; 103 кОм.
1Опеределение систематической погрешности.
В
(2.1)
общем случае, если известна величина Z, воздействующая на прибор, с точностью в три и более раз превышающей точность самого прибора (например, образцовую, эталонную), то систематическую погрешность определяем по формуле
где
Z – известная
величина воздействующая на прибор,
среднее арифметическое значение
неисправленного ряда наблюдений, кОм.
Среднее арифметическое значение неисправленного ряда наблюдений определяем по формуле
100,03
кОм;
Тогда систематическая погрешность.
кОм.
Систематическая
погрешность должна быть исключена и
результатов измерений путём введения
поправки, равной
После введения поправки получается исправленный ряд значений Xut.
97,03; 97,03; 97,03; 98.03; 98.03; 98.03; 98.03; 98.03; 98.03; 99.03; 99.03; 99.03; 99.03; 99.03; 99.03; 99.03; 99.03; 99.03; 99.03; 99.03; 99.03; 99.03; 99.03; 99.03; 99.03; 100.03;100.03; 100.03; 100.03; 100.03; 100.03; 100.03; 100.03; 100.03; 100.03;100.03; 100.03; 100.03; 100.03; 100.03; 100.03; 100.03; 100.03; 100.03;100.03; 100.03; 100.03; 100.03; 100.03; 100.03; 100.03; 100.03; 100.03;100.03; 100.03; 100.03; 100.03; 100.03; 100.03; 100.03; 100.03; 100.03;100.03; 100.03; 100.03; 100.03; 100.03; 100.03; 100.03; 100.03; 100.03; 100.03; 100.03; 101.03; 101.03;101.03; 101.03; 101.03; 101.03; 101.03; 101.03; 101.03; 101.03; 101.03;101.03; 101.03; 101.03; 101.03; 101.03; 101.03; 101.03; 102.03; 102.03; 102.03;102.03; 102.03; 103.03; 103.03; 103.03; 103.03; кОм.
2.Построение укрупнённого статистического ряда.
Для удобства обработки результатов наблюдений построим укрупненный статистический ряд.
О
(2.3)
(2.4)
(2.5)
(2.6)
пределяем область измерения признака.
Где
- наибольшее и наименьшее показание
прибора при измерениях.
R
= 103,03
=
6 кОм.
Определяем число классов укрупнённого статистического ряда m, по формулам
Принимаем м= 7.
Определяем ширину класса
d
=
= 0,85, примем d = 1 кОм.
Строим таблицу укрупнённого статистического ряда (Таблица 2.3). В первой строке таблицы записываем номера классов укрупнённого ряда 1…j…m. Во второй строке располагаем наибольшие и наименьшие значения результатов наблюдений для каждого класса. Наименьшее значение первого класса приравниваем к наименьшему значению выборки: X1 min ≤ X min ( примем X1 min = 96,53 кОм, чтобы величина 77,03 стала серединой класса); наибольшее значение первого класса получаем X1 min + d = X1 max. Для всех классов последовательность выбора повторяем: X2 min = X1 max; X2 min + d = X2 max и т.д.
Таблица 2.3
Параметры статистического ряда,
эмпирического и теоретического распределения.
Номер класса m |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
Σ |
|
Граница класса |
Xj min |
96,53 |
97,53 |
98,53 |
99,53 |
100,53 |
101,53 |
102,53 |
|
Xj max |
97,53 |
98,53 |
99,53 |
100,53 |
101,53 |
102,53 |
103,53 |
|
|
Средняя точка класса xj |
97,03 |
98,03 |
99,03 |
100,03 |
101,03 |
102,03 |
103,03 |
|
|
Частота nj |
3,000 |
6,000 |
16,000 |
48,000 |
18,000 |
5,000 |
4,000 |
100,000 |
|
Относительная частота Pj |
0,03 |
0,06 |
0,16 |
0,48 |
0,18 |
0,05 |
0,04 |
1,000 |
|
|
-2,97 |
-1,97 |
-0,97 |
0,03 |
1,03 |
2,03 |
3,03 |
|
|
|
0,264 |
0,232 |
0,150 |
0,0004 |
0,190 |
0,206 |
0,367 |
1,4094 |
|
|
0,0171 |
0,0905 |
0,239 |
0,3217 |
0,2297 |
0,0837 |
0,0151 |
|
|
|
1,71 |
9,05 |
23,9 |
32,17 |
22,97 |
8,37 |
1,51 |
|
|
|
1,6641 |
9,3025 |
62,41 |
250,58 |
24,7009 |
11,356 |
6,2001 |
|
|
|
0,9731 |
1,0279 |
2,6112 |
5,2206 |
1,0753 |
1,3568 |
4,1060 |
16,3709 |
|
С
(2.7)
(2.8)
умма частот равна
n = 3+6+16+48+18+5+4 = 100
Относительную
частоту
записываем в 6 строке таблицы 2.3 и
определяем
так
Поэтому
3.Определение среднего арифметического значения, оценки СКО результатов наблюдений СКО среднего арифметического.
Среднее арифметическое значение для укрупнённого статистического ряда исправленных наблюдений определяем по формуле.
(2.9)
(2.10)
(2.11)
В нашем случае после введения поправки среднее арифметическое для исправленного ряда наблюдений должно быть равно Z:
100 кОм
О
(2.10)
(2.11)
(2.12)
пределим точечную оценку дисперсии (второго центрального момента выборки)
1,4094
кОм
Точечная оценка СКО определяется по формуле
1,1871
кОм.
Точечная оценка СКО среднего арифметического значения определяется по выражению
0,1187
кОм.
4.Проверка результатов измерений на наличие грубых погрешностей.
Тк число измерений n=100>50, то для проверки результатов измерений на наличие грубых погрешностей применим критерий 3σ. Для этого берём крайние точки выборки и определяем отношения
100 – 97,03 = 2,97 < 3*1,1871 = 3,5613,
103,03 – 100 = 3,03 < 3*1,44 = 3,5613.
Следовательно крайние точки выборки не являются грубыми погрешностями.
5.Проверка гипотезы о том , что результаты наблюдений принадлежат к нормальному распределения.
Построение эмпирического распределения погрешностей. Построим, по данным таблицы 2.3, гистограмму и полигон для наглядного представления формы закона распределения погрешностей (рис 2.1).
Из рисунка 2.1 видно, что форма гистограммы и полигона эмпирического распределения указывает на то, что результаты наблюдений могут быть распределены по нормальному закону.
Для
проверки гипотезы о нормальности
результатов наблюдений будем использовать
критерий
.
Д
(2.13)
ля определения меры расхождения необходимо вычислить вероятность
где
и
- границы i-того
интервала, Ф(z)
находится из таблицы приложения.
Результаты вычислений остальных вероятностей сведены в таблицу 2.3
Н
(2.14)
(2.16)
айдём расхождение, подставив соответствующие значения в формулу.
Поскольку
при m=7 k=4,то из таблицы при q=0,05или Р =0,95
находим
=
11,668
Так
как
,
то гипотезу о том, что результаты
наблюдения распределены по нормальному
закону, можно считать правдоподобной
6.Определение доверительных границ измерения.
С
(2.15)
начала определяют границы доверительного интервала случайной погрешности измерений.
Где
- квантиль распределения
0,232652
кОм.
Определяем доверительные границы неисключённой систематической погрешности θ.
В качестве границ неисключённой систематической погрешности принимаем значение погрешности меры θ = ± 0,09
0,758
Далее определяем суммарную погрешность результата измерения по формуле
,
тк
<0,8
0,8053
кОм
Записываем результат измерения
А = (100,0 ± 0,8) кОм , при Р=0,95 n = 100
Задание 3.
Определение параметра Z=f(x1,x2,x3) Проводится с помощью прямых многократных измерений параметров x1,x2,x3, для каждого из которых известны основные метрологических характеристики применяемых средств измерений – пределы измерений(ПИ) и класс точности(КТ).
Требуется:
провести обработку результатов измерений;
найти суммарную погрешность косвенного измерения параметра Z измерения с вероятностью P = 0,95 %.
Исходные данные сведены в таблицу.
Таблица 3.1
x1i |
x2t |
x3i |
19,71 |
31,9 |
9,23 |
19,73 |
31,5 |
9,24 |
19,75 |
31,8 |
9,26 |
19,74 |
31,2 |
9,29 |
19,72 |
31,4 |
9,21 |
Таблица 3.2
x1i |
x2t |
x3i |
|||||
ПИ |
КТ |
ПИ |
КТ |
ПИ |
КТ |
||
0…20 |
0,02 |
±30 |
0,3 |
-20…+25 |
0,015 |
||
Таблица 3.3
Вид функции Z=f(x1,x2,x3) |
|
Решение:
1. Определение оценки истинного значении я искомого параметра.
Среднее арифметические значения параметров xi определяем по формуле
(3.1)
(3.2)
(3.3)
(3.4)
(3.5)
(3.2)
