Знакомство с алгеброй логики.

Логические операции и таблицы истинности.

Логическая операция – способ построения сложного высказывания из данных высказываний, при котором значение истинности сложного высказывания полностью определяется значениями истинности исходных высказываний.

Таблицы истинности.

На основе логической связи между простыми высказываниями, входящими в состав сложного высказывания, делается логический вывод. Для получения логического вывода составляют таблицу истинности, в которой перечисляют все комбинации значений («истина» или «ложь») простых высказываний и реализуя логическую связь, получают результат, проанализировав который определяют все истинные значения сложного высказывания.

Логическое отрицание (инверсия)

Логическое отрицание (инверсия) образуется из высказывания с помощью добавления частицы «не» к сказуемому или использования оборота речи «неверно, что …».

Обозначение инверсии: НЕ А; А; ; NOT А.

Таблица истинности:

А			Смысл высказывания А для указанных значений	Значение высказывания: У меня нет приставки Dendy.
0	1		У меня нет приставки Dendy.	истина
1	0		У меня есть приставка Dendy.	ложь

Из таблицы истинности следует, что инверсия высказывания истина, когда высказывание ложно, и ложна, когда высказывание истинно.

Логическое умножение (конъюнкция)

Логическое умножение (конъюнкция) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «и».

Обозначение конъюнкции: А И В; А В; А&В; А В; А AND В

Таблица истинности:

Обозначим высказывания:

А – На автостоянке стоит «Мерседес».

В – На автостоянке стоят «Жигули».

А&В – На автостоянке стоят «Мерседес» и «Жигули».

А	В	А&В		Смысл высказываний А и В для указанных значений		Значение высказывания А&В
0	0	0		«Мерседес» не стоит	«Жигули» не стоят	ложь
0	1	0		«Мерседес» не стоит	«Жигули» стоят	ложь
1	0	0		«Мерседес» стоит	«Жигули» не стоят	ложь
1	1	1		«Мерседес» стоит	«Жигули» стоят	истина

Из таблицы истинности следует, что конъюнкция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны, и ложна, когда хотя бы одно высказывание ложно.

Логическое сложение (дизъюнкция)

Логическое сложение (дизъюнкция) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «или».

Обозначение дизъюнкции: А ИЛИ В; А OR В; А | В; А В; А + В.

Таблица истинности:

Пусть даны высказывания:

А – На автостоянке стоит «Мерседес».

В – На автостоянке стоят «Жигули».

А В – На автостоянке стоят «Мерседес» или «Жигули».

А	В	А В		Смысл высказываний А и В для указанных значений		Значение высказывания А В
0	0	0		«Мерседес» не стоит	«Жигули» не стоят	ложь
0	1	1		«Мерседес» не стоит	«Жигули» стоят	истина
1	0	1		«Мерседес» стоит	«Жигули» не стоят	истина
1	1	1		«Мерседес» стоит	«Жигули» стоят	истина

Из таблицы истинности следует, что дизъюнкция двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны, и истинна, когда хотя бы одно высказывание истинно.

Задание 4.

Рассмотрите сложные высказывания: «Аня промочила ноги, и у нее заболело горло», «Птицы поют или стрекочут кузнечики».

1. Определите простые высказывания.

2. Какие логические связки используются? (напишите название, для второго высказывания вид, логической связки).

Логические переменные и логические функции.

В алгебре простые высказывания заменяют логическими переменными, которые обозначаются буквами латинского алфавита, причем значения переменных могут быть 0 и 1. Логические связки заменяют соответствующими им математическими символами.

Логические выражения (логическая форма) – это выражение, содержащее одну или несколько переменных, соединенных знаками логических операций и скобками и превращающихся в высказывания при подстановке вместо этих переменных простых суждений.

Логической функцией F от набора логических переменных (a, b, c, …) называется функция, определенная на множестве истинных значений (истина, ложь) и принимающая значения из того же множества.

Таблица истинности функции зависит от количества логических переменных этой функции и содержит 2ⁿ наборов переменных.

Например, для функции F(a, b,), таблица истинности состоит из 4 наборов переменных.

Вычисление сложных высказываний производится в соответствии с таблицами истинности входящих в него логических операций. Следовательно для определения значения истинности сложного высказывания мы должны уметь определять его форму и знать правила логических операций.

Примеры для определения формы сложного высказывания.

Пример 1.

F – Ваш приезд не является ни необходимым, ни желательным.

Составляющие простые высказывания:

А – Ваш приезд необходим;

В – Ваш приезд желателен.

Форма сложного высказывания:

F =

Пример 2.

F – Вчера было пасмурно, а сегодня светит солнце.

Составляющие простые высказывания:

А – Вчера было пасмурно;

В – Сегодня ярко светит солнце.

Форма сложного высказывания:

F =

Приоритет логических операций.

При вычислении логического выражения (формулы) логические операции вычисляются в определенном порядке, согласно их приоритету:

1. инверсия;

2. конъюнкция;

3. дизъюнкция;

Операции одного приоритета выполняются слева направо. Для изменения порядка действий используются скобки.

Построение таблиц истинности сложных высказываний

Алгоритм построения таблицы истинности:

1. подсчитать количество переменных n в логическом выражении;

2. определить число строк в таблице, которое равно m=2ⁿ;

3. подсчитать количество логических операций в логическом выражении и определить количество столбцов в таблице, которое равно количеству переменных плюс количество операций;

4. ввести названия столбцов таблицы в соответствии с последовательностью выполнения логических операций с учетом скобок и приоритетов;

5. заполнить столбцы входных переменных наборами значений;

6. провести заполнение таблицы истинности по столбцам, выполняя логические операции в соответствии с установленной в п. 4 последовательностью.

Задание 5.