Замкнутые смо (бригада из т рабочих обслуживает п станков)

1.Введём множество состояний:

S0- система пуста.

S1- один станок неисправен и он обслуживается.

S2- два станка неисправны и два рабочих заняты.

Sm- m станков неисправны и все рабочие заняты.

Sm+1 – (m+1) станков неисправны, m станков ремонтируется, 1 в очереди.

Sn=(n-m) – станков в очереди, m ремонтируется.

2. Составим граф состояний:

3. Используя схему гибели и размножения запишем формулы финальной вероятности:

Определяем из условий нормировки:

Среднее число занятых рабочих:

Пример. Рабочий обслуживает группу из трех станков. Каждый станок останавливается в среднем два раза в час. Процесс наладки занимает в среднем 10 мин. Определить абсолютную пропускную способность наладки рабочим станков.

Имеем: n=1, m=3, =2, Т_обс=1/6, =6. Находим: ,

Определяем вероятность того, что рабочий будет занят обслуживанием:

.

Если рабочий занят обслуживанием, то он обслуживает 6 станков в час. Следовательно, абсолютная способность находится как произведение:

.

Таким образом, А=4 станка в час.

Контрольные вопросы к лекции 11

1. Какие системы называются замкнутыми?

2. Приведите пример реальной информационной системы, которая может моделироваться с помощью замкнутой СМО.

3. Почему в замкнутых СМО изменяется интенсивность поступления заявок в разных состояниях?

Лекция 12

Теперь рассмотрим несколько задач, некоторые из которых сводятся к схеме «гибели и размножения», а другие - нет. Целью рассмотрения будет демонстрация некоторых приемов, позволяющих построить математические модели реальных процессов, использую аппарат уравнений Колмогорова.

Простейшая одноканальная смо с очередью и «разогревом»

Под разогревом будем понимать время подготовки системы к работе (это может быть, например, диагностика оборудования системы). Заявка может прийти либо в «холодную» систему, либо в уже «разогретую».В первом случае работа системы начинается с разогрева, во втором- разогрев не требуется.

а) Заявка приходит в пустую систему после разогрева.

б ) Система работает, когда приходит заявка.

1. Введём множество состояний:

S - канал свободен и не разогрет.

S - пришла заявка, которая ждет пока канал разогреется.

S - пришли две заявки и обе ждут, пока канал разогреется.

S - l заявок ждут пока канал разогреется.

S - канал разогрет и одна заявка обслуживается.

S - канал разогрет, 1 заявка обслуживается, 1 в очереди.

S - канал разогрет, 1 заявка обслуживается, (l-1) в очереди.

2. Построим граф состояний:

3. Запишем формулы финальных вероятностей, используя уравнения Колмогорова.

состояние

состояние

…….

состояние

состояние

……..

состояние

число заявок.

Простейшие смо с отказами и приоритетами

Приоритет - предпочтение в обслуживании.

Заявки 1-го типа имеют приоритет (абсолютный) над заявками 2-го типа.

Абсолютный приоритет предполагает, что заявка вытесняет с обслуживания заявку, имеющую более низкий приоритет.

1. Введём множество состояний:

S - система пуста.

S - 1 заявка 1го типа и 0 заявок 2го типа.

S - 2 заявки 1го типа и 0 заявок 2го типа.

S - 1 заявка 1го типа и 1 заявка 2го типа.

S - 0 заявок 1го типа и 2 заявки 2го типа.

S - 0 заявок 2го типа и 2 заявки 2го типа.

Вероятность отказа заявки 1го и 2го типов:

Абсолютная пропускная способность:

Заявки 2го приоритета вытесняются:

Среднее число каналов занятых обслуживанием:

- произвольно взятая заявка получит отказ.

Гипотезы:

- поступила заявка 1го типа.

- поступила заявка 2го типа.

.

Все характеристики для заявок 1го типа могут быть получены, игнорируя заявки 2го типа и, рассматривая задачу так, как будто на 2х канальную СМО с отказами поступают заявки только 1го типа.