Смо с ограниченным временем ожидания

В системах массового обслуживания с ограниченным временем ожидания время ожидания в очереди каждого требования ограничено случайной величиной , среднее значение которого .

Величина, обратная среднему времени ожидания, означает среднее количество требований, покидающих очередь в единицу времени, вызванное появлением в очереди одного требования: . Определение характеристик для этой СМО производится в той же последовательности, что и для систем рассмотренных выше, с той лишь разницей, что на размеченном графе к интенсивностям обработки прибавляются интенсивности ухода, связанные с превышением допустимого времени ожидания.

При наличии в очереди k требований интенсивность потока покидающих очередь требований составляет k.

Для дальнейшего рассмотрения СМО с ограниченным временем ожидания введем новый параметр , означающий среднее число требований, покидающих систему необслуженными, приходящиеся на среднюю скорость обслуживания требований.

Формулы для определения вероятностей состояний такой системы имеют вид:

, при ;

, при ,

где - произведение сомножителей .

Вероятность Р₀ определяют по формуле

.

В практических задачах сумму бесконечного ряда вычислить достаточно просто, так как члены ряда быстро убывают с увеличением номера.

Средняя длина очереди:

.

Вероятность отказа:

.

Среднее число занятых каналов обслуживания и коэффициент загрузки:

;

.

Среднее число свободных каналов обслуживания и коэффициент простоя:

; .

Относительная пропускная способность

.

Пример. В пункте химчистки имеется три аппарата для чистки. Интенсивность потока посетителей =6 посетителей в час. Интенсивность обслуживания посетителей одним аппаратом =3 посетителей в час. Среднее количество посетителей, покидающих очередь, не дождавшись обслуживания, =1 посетитель в час. Найти абсолютную пропускную способность пункта.

Имеем: m=З, =6, =3, =1. Находим: ,

.

Вероятность занятости всех приборов равна . Тогда абсолютная пропускная способность может быть получена как произведение: . Таким образом, А = 2,61 посетителя в час.

Контрольные вопросы к лекции 10

1. Объясните почему формулы выведенные для «схемы гибели и размножения» можно использовать и в случаях когда число состояний системы неограниченно.

2. Как ограничение времени ожидания в СМО отражается на графе состояний?

3. Изобразите граф состояний для системы типа М/М/2.

4. Запишите выражение для вероятности состояний Р₃ СМО типа М/М/2

Лекция 11 Замкнутые системы массового обслуживания

Модель замкнутой СМО используется для описания систем, у которых нет входного потока, а есть входные заявки, которые циркулируют в системе.

Примером является наладчик (мастер), обслуживающий станки по мере их поломки. Введем следующие обозначения:

- интенсивность генерации заявок;

- интенсивность обработки.

Найти: - вероятность того, что система свободна;

- вероятность того, что в системе существует очередь;

- среднее число заявок ожидающих обслуживания.

Решать задачу будем, используя, уже ставший стандартным, алгоритм.

1. Зададим множество состояний:

S0- система пуста.

S1- в системе одна заявка и она обслуживается.

S2- в системе две заявки, одна обслуживается, одна в очереди.

Sn- n заявок в системе, одна обслуживается, n-1 в очереди.

2. Построим граф состояний:

3. Используя схему гибели и размножения, запишем формулы финальной вероятности: