Пусть задана система, описываемая графом состояний s1,s2,s3,s4 и возможными переходами между ними
Каждому из этих состояний S1,S2,S3,S4 соответствует своя вероятность, что система будет в этом состоянии.
-
вероятность того, что система в момент
времени t находится
в состоянии S1.
Интенсивность переходов:
где
-
время нахождения системы в данном
состоянии.
Зададим малое приращение
и найдем вероятность
того, что в момент
система будет находиться в состоянии
S1.
Система была в момент времени t в состоянии S1 и за время никуда из этого состояния не ушла.
В момент времени t система была в состоянии S2 и за время перешла в состояние S1.
Рассмотрим вероятности этих состояний:
Возьмем предел от этой функции:
Таким образом, система уравнений Колмогорова имеет вид:
Общее правило составления дифференциальных уравнений Колмогорова
В левой части каждого уравнения стоит производная вероятности i-го состояния. В правой части сумма произведений вероятностей всех состояний, из которых идут стрелки в данное состояние на интенсивность соответствующих потоков событий минус произведение вероятности данного состояния на суммарную интенсивность всех потоков выводящих систему из данного состояния.
Начальные условия: P1(t)=1 P2(t)=P3(t)=P4(t)=0
Pi(t)=const (установившейся режим).
Для установившегося режима:
Это алгебраические уравнения Колмогорова.
Финальные вероятности
Если существует предел
,
то существует и финальная вероятность.
Доказана следующая ТЕОРЕМА о существовании финальной вероятности.
Если число возможных состояний, в которых может находиться система n, конечно и из каждого состояния за конечное число шагов можно перейти в любое другое, то финальные вероятности существуют.
Финальная вероятность это среднее, относительное время пребывания системы в данном состоянии.
Математические модели систем массового обслуживания, приводимые ниже, соответствуют уравнениям Колмогорова для стационарного режима работы системы при условиях простейшего потока входящих требований и экспоненциального закона распределения времени обслуживания.
Уравнение (схема) гибели и размножения
Среди множества различных графов и, соответственно, свойственных для них уравнений Колмогорова, существует один специальный вид графов состояний. Он характеризуется тем, что описываемый им процесс имеет одно начальной и одно конечное состояния, а переход возможен только в соседнее состояние. Ниже приведен пример такого графа.
Предполагается, что все потоки, переводящие систему из состояния в состояние – простейшие. Особенностью таких процессов, которые получили название процессов гибели и размножения, является возможность получения формул для вычисления вероятностей состояний для стационарного случая в замкнутом виде. Покажем, как можно получить эти формулы.
Составим и решим систему уравнений Колмогорова для финальных вероятностей:
(S0)
(S1)
уравнение нормировки
