17.Определитель n-го порядка. Минор и алгебраические дополнения

Квадратная матрица - таблица, у которой число строк и число столбцов одинаково. Определитель может быть только у квадратной матрицы. Св-ва определителей n-го порядка: 1. При замене строк столбцами (транспонировании) значение определителя не изменится ׀А^Т׀=׀А׀ 2. Если хотя бы один ряд (строка или столбец) состоит из нулей, то определитель равен нулю 3. Если в определителе поменять местами два соседних параллельных ряда (строки или столбцы), то определитель поменяет знак на противоположный 4. Если в определителе имеются два одинаковых параллельных ряда, то определитель равен нулю 5. верно равенство:

а11 а12 … а1n

0 а22 … а2n = а11 а22 а33 … аnn

0 0… а3n

0 0… 0

Если в определителе n-го порядка выбрать произвольно p строк и p столбцов (p < n), то элементы, находящиеся на пересечении этих строк и столбцов, образуют матрицу порядка p². Определитель этой матрицы называется минором исходного определителя (Mij-определитель матрицы, полученной из матрицы А путем вычеркивания i-строки и j-столобца). Aij -алгебраическое дополнение к элементу aij (Aij = (-1)^i+j* Mij).

18.Определители второго и третьего порядка

1. Определители второго порядка. Рассмотрим квадратную матрицу 2 × 2: а11 а12

а21 а22

Определителем второго порядка, соответствующим матрице называется число, равное a11a22 − a12a21 и обозн.: а11 а12

а21 а22 2.Определители третьего порядка. Рассмотрим квадратную матрицу 3 × 3: а11 а12 а13

а21 а22 а23

а31 а32 а33

Определителем третьего порядка, соответствующим матрице называется число равное: a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 −a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33

19.Свойства определителя

1. При замене строк столбцами (транспонировании) значение определителя не изменится ׀А^Т׀=׀А׀ 2. Если хотя бы один ряд (строка или столбец) состоит из нулей, то определитель равен нулю 3. Если в определителе поменять местами два соседних параллельных ряда (строки или столбцы), то определитель поменяет знак на противоположный 4. Если в определителе имеются два одинаковых параллельных ряда, то определитель равен нулю 5. верно равенство:

а11 а12 … а1n

0 а22 … а2n = а11 а22 а33 … аnn

0 0… а3n

0 0… 0

20.Формулы Крамера для решения квадратной СЛУ. Присоединённая матрица и её связь с обратной матрицей. Пусть дана СЛУ:

а11х1+ а12х2+…+а1nxn=b1

а21х1+ а22х2+…+а2nxn=b2

…

аn1х1+ аn2х2+…+аnnxn=bn

Введем обозн.

а11 а12 … а1n

▲= а21 а22 … а2n

…

аn1 аn2 … аnn

▲xi- определитель, полученный из определителя ▲ путем замены i-го столбца на столбец b1 b2 …

bn, здесь i=1, …, n. Тогда, если ▲≠0, то

х1=▲х1/▲; х2 =▲х2/▲; …; хn =▲хn/▲.

Данные равенства наз-ся формулами Крамера для решения СЛУ.