1. 1. Матрицы. Действия над матрицами

Матрица – таблица чисел, занумерованных следующим образом

a11 a12 … a1n

a21 a22 … a2n

…

am1 am2 … amn

1Й индекс – номер строки

2Й индекс – номер столбца

Аналогичная запись А=(А_mn)

Действия над матрицами

1. 1) Умножение матрицы на число

Чтобы умножить матрицу на число, надо все ее элементы умножить на число

2. 2) Сложение матриц

Складывать можно только матрицы одинаковой размерности. Складываем соответствующие элементы

3. 3) Вычитание матриц

Аналогично сложению

4. 4) Умножение матриц

Операция определена только для согласованных матриц (кол-во столбцов в 1й матрице=кол-во строк во 2й матрице)

Каждая строчка первой матрицы умножается на каждый столбец 2й матрицы и суммируется

Пример

1 2 1 1 1 5 3 7

3 4 * 2 1 3 = 11 7 15 А*В=В*А

1 0 1 1 1

6. 5) Транспонирование

Меняем строчки и столбцы матрицы местами

2. 2. Свойства действий над матрицами

А+В=В+А А+(В+С)=(А+В)+С

А+0(нулевая матрица)=А А-А=0

E(единичная матрица)*А=А α(любое число)*(А+В)=αА+αВ

(α+β)*А=αА+ βА α*( β*А)= (α*β)*А= β*(α*А)

А*(В*С)=(А*В)*С (не менять местами) А*(В+С)=А*В+А*С

1. (А+В)*С=А*С+В*С

α*(А*В)= (α*А)*В= А*(α*В) (α – число, его можно переставлять)

2. (А+В)^т=А^т+В^т

(А*В)^т=В^т*А^т

Если А*В=В*А, то матрицы А и В перестановочные

3. 3. Определители 2-го и 3-го порядка

для каждой квадратной матрицы мы можем посчитать число – определитель матрицы - по следующему правилу:

1. А=(а₁₁)

det(A)=|A|=a₁₁

2. A= a₁₁ a₁₂

a₂₁ a₂₂

det(A)= a₁₁ a₁₂= a₁₁*a₂₂-a₁₂*a₂₁

a₂₁ a₂₂

3. a₁₁ a₁₂ a₁₃

a₂₁ a₂₂ a₂₃ = a₁₁*a₂₂*a₃₃+a₂₁*a₃₂*a₁₃+a₁₂*a₂₃*a₃₁-a₃₁*a₂₂*a₁₃-a₂₁*a₁₂*a₃₃-a23*a31*a₁₁

a₃₁ a₃₂ a₃₃

2. 4. Свойства определителей

1. 1) определитель, содержащий нулевую строку/столбец =0

2. 2) определитель, содержащий 2 одинаковых строки/столбца =0

3. 3) Если в определителе поменять местами 2 строки/столбца, то определитель изменит знак

4. 4) Определитель с двумя пропорциональными строчками/столбцами равен нулю

5. 5) Если вся строка/столбец определителя домножен на одно и то же число, то его можно вынести за знак определителя

6. 6) Если в строку/столбец определителя добавить элементы параллельного ряда, домноженные на какое-либо число, то определитель не изменится.

2. 5. Разложение определителя по строчке/столбцу. Минор. Алгебраическое дополнение

a₁₁ a₁₂ … a_1k … a_1n

a₂₁ a₂₂ … a_2k … a_2n

……………………

a_i1 a_i2 … a_ik … a_in

a_n1 a_n2 … a_nk … a_nn

Минором элемента a_ik (M_ik)определителя n-го порядка называется определитель n-первого порядка, который получается из исходного определителя вычеркиванием строки с №i и столбца с №k.

Алгебраическим дополнением элемента a_ik определителя n-го порядка называется

A_ik=(-1)^(i+k)*M_ik

Алгебраическое разложение

a₁₁ a₁₂ a₁₃

a₂₁ a₂₂ a₂₃ = a₁₁* a₂₂ a₂₃ - a₁₂* a₂₁ a₂₃ + a₁₃ * a₂₁ a₂₂

a₃₁ a₃₂ a₃₃ a₃₂ a₃₃ a₃₁ a₃₃ a₃₁ a₃₂

2. 6. Обратная матрица

Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель ≠0

Теорема: Всякая невырожденная квадратная матрица имеет обратную

А^-1*А=А*А^-1=Е (единичная матрица)

Нахождение А^-1

1. 1) Считаем определитель detA≠0

2. 2) Находим Aт

3. 3) А^*= A₁₁ A₂₁ A₃₁

A₁₂ A₂₂ A₃₂

A₁₃ A₂₃ A₃₃

4. 4) A^-1= * A*

5. 5) А^-1*А=А*А^-1=Е

7. Ранг матрицы. Определение, свойства

Ранг матрицы А – наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы

r(A)=rang(A)

Свойства ранга:

1. 1) r(A)≤min(m,n)

2. 2) r(A)=0, если все элементы матрицы=0

3. 3) A[nxn], r(A)=n, если det(A)≠0

8. Теорема Крамера

Рассмотрим систему из n уравнений и n неизвестных

a₁₁*x₁+a₁₂*x₂+…+a_1n*x_n=b₁

a₂₁*x₁+a₂₂*x₂+…+a_2n*x_n=b₂

…

a_n1*x₁+a_n2*x₂+…+a_nn*x_n=b_n

a₁₁ a₁₂ … a_1n

∆= a₂₁ a₂₂ … a_2n

…

a_n1 a_2n … a_nn

a₁₁ a₁₂ … b₁ … a_1n

∆_k= a₂₁ a₂₂ … b₂ … a_2n

…

a_n1 a_n2 … b_n … a_nn

если ∆≠0, то система имеет единственное решение: x_k= , где k=1,2,…,n

Если ∆=0 и хоть 1 из ∆k≠0, то решений нет.

Если ∆=0 и все ∆k=0, то Х-любое число.

a₁₁ a₁₂ … a_1n x₁ b₁ A*X=B

A= a₂₁ a₂₂ … a_2n X= x₂ B= b₂ ∆≠0

… … … A^-1*AX=A^-1*B

a_n1 a_n2 … a_nn x_n b_n EX=A^-1*B

X=A^-1*B

9. Метод Гаусса

Метод последовательного исключения неизвестных

Пример:

x₁-x₂+x₃=3

2x₁+x₂+x₃=11

x₁+x₂+2x₃=8

1 -1 1 3 1 -1 1 3 1 -1 1 3 1 -1 1 3 1 -1 1 3

2 1 1 11 ~ 0 3 -1 5 ~ 0 1 -2 0 ~ 0 1 -2 0 ~ 0 1 -2 0

1 1 2 8 0 2 1 5 0 2 1 5 0 0 5 5 0 0 1 1

x₃=1

x₂-2x₃=0 x₁-2+1=3

x₂=2 x₁=4

x₁=4

x₂=2

x₃=1

10. Теорема Кронекера-Капелле

Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы = рангу расширенной матрицы системы

r(A)=r(A|B)

1) Если r(A)=числу переменных,. то система имеет 1 решение.

2) Если r(A)<n, то x₁,x₂,…,x_r называются основными (базисными) переменными, если определитель из коэффициентов при них ≠ 0. Остальные n-r переменных называются свободными

3) Если r матрицы системы меньше числа неизвестных, то система называется неоднородной и она имеет бесконечное множество решений.

4) Решение системы, в котором n-r переменных =0, называется базисным.

11. Система однородных уравнений с n неизвестными

a11*x1+a12*x2+…+a1n*xn=0

a21*x1+a22*x2+…+a2n*xn=0

…

am1*x1+am2*x2+…+amn*xn=0

A*X=0

Всегда имеет минимум одно решение – нулевое.

m=n

Если m=n и при этом ∆≠0, согласно теореме Крамера, система имеет единственное нулевое решение.

Система линейных однородных уравнений имеет ненулевое решение, когда ранг ее матрицы меньше числа неизвестных.

r(A)<n

x1=k1, x2=k2, xn=kn – решение системы.

12. Векторы. Действия над векторами

Вектор – направленный отрезок. Нулевой вектор- начало и конец вектора совпадают (точка) Модуль вектора- длина отрезка АВ

Действия над векторами:

1. 1) Умножение вектора на число

ʎ*a – число умножение на вектор а, есть вектор модуля, которого равен ǀʎ*aǀ = ǀʎǀ *ǀ аǀ, и направление совпадает с вектором а, если ʎ положит. И противополож. Направлению вектору а, если ʎ отрицательная.

2. 2) Сложение

А)по правилу треугольника Б)по параллелограмму

3. 3) Разность

a-b = a+(-1)b

4. 4) Скалярное произведение

ab= ǀaǀ * ǀbǀ *cosµ

13. Скалярное произведение: определение, выражение через координаты. Условия перпендикулярности векторов.

Скаля́рное произведе́ние — операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр (число), не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов-сомножителей и угол между ними.

(a,b)=|a|*|b|*cos(a,b) или (a,b)=xa*xb+ya*yb+za*zb

Векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

15. Векторное произведение: определение, выражение через координаты. Условия коллинеарности векторов.

axb=c

Векторное произведение двух векторов – вектор, которые обладает следующими свойствами:

1. Модуль этого вектора есть s параллелограмма, построенного на векторах a и b.

2. Вектор с перпендикулярен плоскости, в которой лежат a и b

3. с направлен таким образом, что если смотреть из его конца на плоскость a и b, то кратчайший поворот от 1-го вектора ко 2-му осуществляется против часовой стрелки (а, b, с взятые в указанном порядке образуют правую тройку)

Свойства векторного произведения:

1. 1) axb=-bxa

2. 2) (axb)xc≠ax(bxc)

3. 3) ax(b+c)=axb+axc

4. Условия коллинеарности 2-х векторов.

a и b коллинеарны тогда и только тогда, когда axb=0

|axb|=|a|*|b|*sinµ

16. Смешанное произведение векторов: определение, теорема, выражение через координаты. Условия компланарности векторов.

a*b*c=(axb)*c

Смешанное произведение 3-х векторов по абсолютной величине равно V параллелепипеда, построенного на этих векторах

Условия компланарности 3-х векторов.

a b c компланарны тогда и только тогда, когда a*b*c=0

17. Линейная (не)зависимость векторов

Рассмотрим векторы a₁,a₂,…,a_n

Выражение вида α₁a₁+ α₂a₂+…+ α_na_n называется линейной комбинацией этих векторов

a₁,a₂,…,a_n называются линейно (не)зависимыми, если (не)существует равная нулю их линейная комбинация, в которой хотя бы 1 из коэффициентов α≠0

a₁,a₂,….,a_n линейно (не)зависимы, если (ни)1 из векторов (не)является линейной комбинацией остальных.

18. Частные случаи линейной зависимости векторов

1) n=2; Если a₁ и а₂ линейно зависимы, то они коллинеарны а₁=α₂а₂

2) n=3; Если а₁,а₂ и а₃ линейно зависимы, то они компланарны а₁=α₂а₂+α₃а₃

19. Базис

а₁,а₂,…,а_n образуют базис, если:

1. 1) Они линейно независимы

2. 2) Любой вектор можно представить в виде их линейной комбинации

3) линейная комбинация линейно независимых векторов=0

Теорема:

В трехмерном пространстве любые три линейно независимых вектора образуют базис.

20. Координаты вектора в ортонормированном базисе. Выражение |a| через координаты

Базис называется ортонормированным, если:

1. 1) Базисные векторы имеют единичную длину

2. 2) они взаимно ортогональны (т.е. перпендикулярны друг другу) |i|=|j|=|k|=1

a=a_x*i+a_y*j+a_z*k

Разложение а по базису векторов I,j,k

обозначим угол α, который образует вектор a с осью х, угол β – с осью у, угол µ - с осью z

a_x=|a|*cos α; a_y=|a|*cos β; a_z=|a|*cos µ

Координаты в ортонормированном базисе равны проекциям данного вектора на соответствующие оси координат, косинусы углов называются направляющими.

a{a_x,a_y,a_z}