46.Предельный переход неравенств.Теорема о вложенных отрезках.*

Пусть {x_n} и {z_n} - сходящиеся последовательности, имеющие общий предел a. Пусть, кроме того, начиная с некоторого номера, элементы последовательности {y_n} удовлетворяют неравенствам x_n ≤ y_n ≤ z_n. Тогда последовательность {y_n} сходится и имеет предел a.

Если имеем последовательность вложенных отрезков, то существует

и притом одно единственное число c , принадлежащее всем отрезкам одновременно, т.е.

47.Функции.Элементарные функции.

Функция-закон, по которому каждому элементу из множества области определения соответсвует свой элемент во множестве область значений.

Х-область определения

У-Область значений.

Изменение по У-приращение функции.

Четность-симметричность функции относительно координатных осей.

Способы задания функции:

Табличный

Графический

Програмный

Аналитический

48.Предел функции в точке.Односторонние пределы.

Предел функции в точке.

1)Число а, предел f(x) от которого при х->х₀, где f(x0)…f(x_n)->a

2)Число а, предел f(x) при x->x₀ если для любого ε>0 найдется δ(ε), такое что для любого

Х: (х-х₀) < δ => (f(x)-a)<ε.

Односторонние пределы.

Х->X₀+0 –СТРЕМИТСЯ СПРАВА

Х->X₀-0-СТРЕМИТСЯ СЛЕВА

A предел функции f(x) при х->х₀+0, если любой ε>0 найдется δ= δ(ε), такой,что любой Х: хпринадлежит (х0;х0+ δ)выполняется неравенстов: |f(x)-a| < ε

49.Предел функции при Х стремящемся к бескончености.

1)Число а, предел f(x) при х-> ,если для любого ε>0, найдется N(ε),такое,что для любого

х: |x|>N => |f(x)-A| < ε

2) Число а, предел f(x) при х-> ,если для любого M>0, найдется δ (M),такое,что для любого

x: (x-x₀)< δ=f(x)>M

3)limf(x)= при х-> , если для любого М>0 найдется N=N(M) такое,что любой

Х: |x|>N -> |f(x)|>M.

50.Первый замечательный предел.

Lim sin x/x =1 при x-> 0

Следствия из ПЗП:

Lim sin ax/x=a

Lim sinax/sinbx=a/b

Lim arcsin x/x=1

Lim tgx/x=1

Lim arctgx/x=1

51.Второй замечательный предел.

x->0

lim (1+x) ^1/x=e

lim(1+1/x)^x=e

lim (a^x-1)/x=ln a

lim (e^x-1)/x=1

lim log_a(x+1)=1/ln a

lim ln(1+x)/x=1

Экавивалентность:

Х->0

Sinx =x

Arcsinx =x

Tgx =x

Arctgx =x

e^x-1 =x

a^x-1=x ln a

ln(1+x)=x/ln a

ln(1+x)=x

log_a(1+x)=x/lna

(1+x)^1/n-1=x/n

52.Неопределенность и методы вычисления пределов.

Если при подстановки x-> a вместо х а дробь сокращается в один из следующих случаев:

0/0 ; ; 0⁰; 1^ ; ⁰; 0*

Случай называется неопредленностью.Для этого необходимо предпринять дополнительные меры.

1.Разделить дробь на x-a (x->a)и поробовать еще раз.

2.Попытаться применить следствия из замечательных пределов.

3.Если х-> разделить дробь на x с наибольшим степенным показателем.

4.Если функия степенная,необходимо привести ее к виду е^{lim f(x)}:

1.Привести основание к виду 1+f(x) , возвести дробь в степень к обратной дроби f(x) и возвести в степень произведения n*f(x).Все что будет под последним показателем переходит за знак lim как е.В итоге получается функция вида е^{lim f(x)}.

5.Применить правило Лопиталя.(Разделить первую производную числителя на первую производную знаменателя.)

53.Непрерывность.Виды точек разрыва.

1.Функция непрерывна в х₀,если lim f(x)=f(x₀) при х->х₀

2.Если бесконечно малое приращению аргумента соответсвует бескончно малое приращение функции.,то в точке х₀ наблюдается непрерывность.

3.Условия непрерывности.

1. Функция непрерывна в точке,если определена,т.е. f(x)-const.

2. Существуют односторонние пределы.

3. f(x₀+0)= f(x₀+0)

4. f(x₀-0) =f(x₀-0)= f(x₀)

При нарушении хотя бы одного условия, x₀-точка разрыва.

Точка разрыва первого рода:

Нарушение условий 1,3,4.

Точка разрыва 2 рода –нарушение условия 2,где функция терпит бесконечный разрыв хотя бы с одной стороны.

56.Производная функции.Уравнение касательной.

Производная-предел отношения приращения функции к приращению аргумента,когда последнее стремится к нулю.

У’=lim Δy/Δx

Уравнение касательной:

Y=y₀+f’(x)(x-x₀)

59.Производная сложной функции.

Для нахождение производной сложной функции необходимо найти производные от всех простых функций,составляющих сложную.

F(ф(х))’=f’(ф(х))*ф’(x)

60.Производная обратной функции.

Если функция непрерывна на кекотором промежутке и в некоторой точке имеет производную,то обратаная ей функция тоже имеет производную,равную x’_y=1/y’_x

(arcsin a)’=1/

(arccos a)’=-1/

(arctg a)’=1/(1+x²)

(arctg a)’= -1/(1+x²)

61.Логарифмическое диффиренцирование.

Есть некая показательно-степенная функция у=f(x)^ф(х)

Для нахождения производной функции,ее необходимо прологарифмировать.

Ln y= ln f(x)^ф(х)=ф(х)ln f(x)

1/y*y’=ф’(x) ln f(x)+ф(х)*1/f(x)*f’(x)

Y’=(f(x))^ф(х)[ф’(x) ln f(x)+ф(х)* f’(x)/f(x)

62.Производная неявной функции или функции заданной праметрически.

Неявная функция-функция в которой y выражено через x.

Чтобы найти производную от неявной функции необходимо взять производную от каждого слагаемого, используя правило диффиренцирования и помня,что y- функция от х.

Е сли функция задана как сисетама:

X=ф(t)

Y=ф(t)

Y_x’=y’_t/x’_t

63.Диффиренциал и его свойства.

Диффиренциал-главная линейная, относительно Δx , часть приращения функции.

Dy=Adx

Если функция диффиренируема в точке,она имеет производную в этой точке и наоборот.

Функция диффиренцируема в точке,если ее приращение можно представить в виде суммы главной линейной, относительно Δx и бескоечно малой более высокого порядка, чем Δx.

Свойства:

1. dy=y’dx => y’=dy/dx

2. d(u U)=du dU

3. dC=0 , C-const

4. d(uU)=duU+udU

5. d(cu)=cdu

6. d(u/U)=(duU-udU)/U²

64.Геометрический смысл дифференциала.

Приращение ординаты равно диффиренциалу функции.

Есть график функций,проводим к данной точке касательную.Отмечаем на оси абсцисс точки перехода из одного положения в другое,диффиренциалом будет приращение касательной в точках пересечения перпендикуляров из точек перехода с касательной.

65.Производные и диффиренциалы более высоких порядков.

Производная(диффиренциал) от данной производной(диффиреницала) n-1 порядка называется производной(диффиренциалом n-порядка.

70.Правило Лопиталя.

Для нахождения предела с неопределенностью, необходимо взять производную от числителя и поделить на производную от знаменателя.

74.Экстремумы.

Экстремумы-точки минимума или максимума функции.

75.Выпуклость\вогнутость функции.Точки перегиба.

Прямая вогнута на интервале,если лежит выше любой касательной,проведенной на этом интервале.

Прямая выпукла на интервале,если лежит ниже любой касательной,проведенной на этом интервале.

Точка прегиба-смена выпуклости на вогнутость.Прямая имеет точку перегиба в данной точке, если в этой точке вторая производная равна нулю.

Либо если функция в окрестности некоторой точки х к раз диффиренцируема,причем к-нечетно и больше трех и производная к-1 равна нулю ,то функция имеет точку прегиба.